Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 12th Maths Guide Pdf Chapter 2 Complex Numbers Ex 2.3 Textbook Questions and Answers, Notes.
Tamilnadu Samacheer Kalvi 12th Maths Solutions Chapter 2 Complex Numbers Ex 2.3
Question 1.
If z1 = 1 – 3i, z2 = -4i, and z3 = 5, show that
(i) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
Solution:
z1 = 1 – 3i, z2 = -4i, z3 = 5
(z1 + z2) + z3
= (1 – 3i – 4i) + 5
= (1 – 7i) + 5
= 6 – 7i …… (1)
z1 + (z2 + z3)
= (1 – 3i) + (-4i + 5)
= 6 – 7i ……. (2)
from (1) & (2) we get
∴ (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
(ii) (z1 z2)z3 = z1(z2 z3)
Solution:
(z1 z2) z3 = [(1 – 3i) (-4i]5
= [-4i + 12 i2]5
= [-12 – 4i] 5
= -60 – 20i ……. (1)
z1 (z2 z3) = (1 – 3i)[(-4i)(5)]
= (-20i + 60 i2)
= -20i – 60 ……. (2)
from (1) & (2) we get
∴ (z1 z2)(z3) = z1 (z2 z3)
Question 2.
If z1 = 3, z2 = 7i, and z3 = 5 + 4i, show that
(i) z1(z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3
Solution:
z1 = 3, z2 = 7i, z3 = 5 + 4i
z2 + z3 = -7i + 5 + 4i
= 5 – 3i
z1 (z2 + z3) = 3 (5 – 3i) + 15 – 9i …………. (1)
z1 z2 = 3(-7i) = -21i
z1 z3 = 3(5 + 4i) = 15 + 12i
z1 z2 + z1 z3 = -21i + 15 + 12i
= 15 – 9i ……… (2)
∴ from 1 and 2
z1(z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3
Hence proved.
(ii) (z1 + z2)z3 = z1 z3 + z2 z3
Solution:
z1 + z2 = 3 – 7i
(z1 + z2)z3 = (3 – 7i) (5 + 4i)
= 15 + 12i – 35i + 28i²
= 15 + 12i – 35i + 28i
= 43 – 23i ………… (1)
z1 z3 = 3(5 + 4i) = 15 + 12i
z2 z3 = – 7i(5 + 4i) = -35i – 28i²
= – 35i + 28
z1 z3 + z2 z3 = (15 + 12i) + (-35i + 28)
= 15 + 12i – 35i + 28
= 43 – 23i …………. (2)
∴ from 1 and 2
(z1 + z2)z3 = z1 z3 + z2 z3
Hence proved.
Question 3.
If z1 = 2 + 5i, z2 = – 3 – 4i, and z3 = 1 + i, find the additive and multiplicative inverse of z1, z2 and z3.
Solution:
(i) z1 = 2 + 5i
additive inverse z1 is -z1
⇒ -(2 + 5i) = -2 – 5i
Multiplicative inverse z1 is (z1)-1
We know
z1 z1-1 = 1
⇒ (2 + 5i) (u + iv) = 1 [∵ z-1 = u + iv]
2u + 2iv + 5iu – 5v = 1
(2u – 5v) + i (5u + 2v) = 1 + i 0
Equating real and imaginary parts
2u – 5v = 1
5u + 2v = 0
Solving them, we get
(ii) z2 = – 3 – 4i
Additive inverse z2 is -z2
⇒ -(3 – 4i) = 3 + 4i
Multiplicative inverse z2 is (z2)-1
We know
z2 z2-1 = 1
⇒ (-3 – 4i) (u + iv) = 1 [∵ z2-1 = u + iv]
-3u – 3iv – 4iu + 4v = 1
(-3u + 4v) + i (-4u – 3v) = 1 + i 0
we get -3u + 4v = 1
-4u – 3v = 0
(iii) z3 = 1 + i
(а) Additive inverse of z3 = -z3 = -(1 + i) = -1 – i
(b) Multiplicative inverse of
\(z_{3}=\frac{1}{z_{3}} \frac{1}{1+i} \times \frac{1-i}{1-i}=\frac{1-i}{2}\)