Category: Class 11

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 7 Matrices and Determinants Ex 7.4 Text Book Back Questions and Answers, Notes.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 7 Matrices and Determinants Ex 7.4

Question 1.
Find the area of the triangle whose vertices are (0, 0), (1, 2) and (4, 3)
Answer:
The given points are (0, 0), (1, 2) and (4, 3)
Area of the triangle with vertices
(x₁, y₁), (x₂, y₂) and (x₃, y₃) is

∴ The area of the triangle with vertices
(0, 0), (1, 2) and (4, 3) is

Area cannot be negative. Taking positive value, we have
Required area Δ = \(\frac{5}{2}\) sq.units.

Question 2.
If (k, 2), (2, 4) and (3, 2) are vertices of the triangle of area 4 square units then determine the value of k.
Answer:
Given Area of the triangle with vertices (k, 2), (2, 4) and (3, 2) is 4 square units.
The area of the triangle with vertices
(x₁, y₁) , (x₂, y₂) and (x₃, y₃) is

Given Δ = 4, (x₁, y₁) = (k , 2), (x₂, y₂) = (2 , 4) and (x₃, y₃) = (3 , 2)

± 4 = k(4 – 2) – 2 (2 – 3) + 1(4 – 12)
± 4 = k × 2 – 2 × – 1 – 8
± 4 = 2k + 2 – 8
± 4 = 2k – 6
2k – 6 = 4 or 2k – 6 = -4
2k = 4 + 6 or 2k = – 4 + 6
2k = 10 or 2k = 2
k = 5 or k = 1
Required values of k are 1, 5.

Question 3.
Identify the singular and non – singular matrices.
(i) \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right] \)
(ii) \(\left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{matrix} \right] \)
(iii) \(\left[ \begin{matrix} 0 & a\quad -\quad b & k \\ b-\quad a & 0 & 5 \\ -k & -5 & 0 \end{matrix} \right] \)
Answer:
(i) \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right] \)

|A| = 1 (45 – 48) – 2(36 – 42) + 3(32 – 35)
|Al = – 3 – 2 × – 6 + 3 × – 3
|A| = – 3 + 12 – 9
|A| = – 12 + 12 = 0
∴ A is a singular matrix.

(ii) \(\left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{matrix} \right] \)
Answer:

|B| = 2(0 – 20) + 3 (- 42 – 4) + 5(30 – 0)
|B| = -40 + 3 × – 46 + 150
|B| = -40 – 138 + 150
|B| = -178 + 150 ≠ 0
∴ B is non singular.

(iii) \(\left[ \begin{matrix} 0 & a\quad -\quad b & k \\ b-\quad a & 0 & 5 \\ -k & -5 & 0 \end{matrix} \right] \)

|C| = 0 – (a – b) (0 + 5k) + k(-5 (b – a) – 0)
|C| = -5k (a – b) – 5k (b – a)
|C| = -5k (a – b) + 5k(a – b)
|C| = o
∴ C is a singular matrix.

Question 4.
Determine the values of a and b so that the following matrices are singular:
(i) A = \(\left[ \begin{matrix} 7 & 3 \\ -2 & a \end{matrix} \right] \)
(ii) B = \(\left[ \begin{matrix} b\quad -\quad 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 4 \end{matrix} \right] \)
Answer:
(i) A = \(\left[ \begin{matrix} 7 & 3 \\ -2 & a \end{matrix} \right] \)
|A| = \(\left[ \begin{matrix} 7 & 3 \\ -2 & a \end{matrix} \right] \)
|A| = 7a + 6
Given that A is singular
∴ |A| = 0
7a + 6 = 0 ⇒ a = \(\frac{-6}{7}\)

(ii) B = \(\left[ \begin{matrix} b\quad -\quad 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 4 \end{matrix} \right] \)
|B| = \(\left[ \begin{matrix} b\quad -\quad 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 4 \end{matrix} \right] \)
= (b – 1 )(4 + 4) – 2(12 – 2) + 3(- 6 – 1)
= 8 (b – 1) – 20 – 21
= 8b – 8 – 41
|B| = 8b -49
Given that B is singular
∴ |B| = 0
8b – 49 = 0 ⇒ b = \(\frac{49}{8}\)

Question 5.
If cos 2θ = 0, determine

Answer:
Given cos 2θ = 0

Question 6.
Find the value of the product

Answer:

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 7 Matrices and Determinants Ex 7.3 Text Book Back Questions and Answers, Notes.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 7 Matrices and Determinants Ex 7.3

Solve the following problems by using Factor Theorem:

Question 1.
Show that \(\left| \begin{matrix} x & a & a \\ a & x & a \\ a & a & x \end{matrix} \right| \) = (x – a)² (x + 2a)
Answer:

By putting x = a , we have three rows of |A| are identical. Therefore (x – a)² is a factor of |A|
Put x = – 2a in |A|

∴ x + 2a is a factor of |A|. The degree of the product of the factors (x – a)² (x + 2a) is 3.
The degree of tfie product of the leading diagonal elements x . x . x is 3.
∴ The other factor is the contant factor k.

a³ [ – 1 (1 – 1) – 1 ( – 1 – 1) + 1 (1 + 1)] = k . 4a³
a³ [o + 2 + 2 ] = 4 ka³
4a³ = 4 ka³
k = 1

Question 2.
Show that \(\left| \begin{matrix} b\quad +\quad c & a\quad -\quad c & a\quad -\quad b \\ b\quad -\quad c & c\quad +\quad a & b\quad -\quad a \\ c\quad -\quad b & c\quad -\quad a & a\quad +\quad b \end{matrix} \right| \) = 8 abc
Answer:


since two columns identical
= bc × 0 = 0
∴ a – 0 is a factor. That is, a is a factor.
Put b = 0 in |A|

since two columns identical
= ca × 0 = 0
∴ b – 0 is a factor. That is, a is a factor.
Put c = 0 in |A|

since two columns identical
= ab × 0 = 0
∴ c – 0 is a factor. That is, c is a factor.
The degree of the product of the factors abc is 3.
The degree of the product of leading diagonal elements (b + c) (c + a) (a + b) is 3.
∴ The other factor is the constant factor k.

Question 3.
Solve that \(\left| \begin{matrix} x\quad +\quad a & b & c \\ a & x\quad +\quad b & c \\ a & b & x\quad +\quad c \end{matrix} \right| \) = 0
Answer:

Put x = 0

x = 0 satisfies the given equation. x = 0 is a root of the given equation, since three rows are identical. x = 0 is a root of multiplicity 2. Since the degree of the product of the leading diagonal elements (x + a) (x + b) (x + c) is 3. There is one more root for the given equation.
Put x = – (a + b + c)

∴ x = – (a + b + c) satisfies the given equation.
Hence, the required roots of the given equation are x = 0, 0 , – (a + b + c)

Question 4.
Show that \(\left| \begin{matrix} b\quad +\quad c & a & { a }^{ 2 } \\ c\quad +\quad a & b & { b }^{ 2 } \\ a\quad +\quad b & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = (a + b + c) (a – b) (b – c) (c – a)
Answer:

Since two rows are idenctical
|A| = 0
since two rows are idenctical
|A| = 0
∴ a – b is a factor of | A |. The given determinant is in cyclic symmetric form in a , b and c. Therefore, b – c and c – a are also factors. The degree of the product of the factors (a – b) (b – c) (c – a) is 3 and the degree of the product of the leading diagonal elements (b + c) . b . c² is 4.
Therefore, the other factor is k (a + b + c).

5(18 – 12) – 1(36 – 12) + 1(12 – 6) = 12k
5 × 6 – 24 + 6 = 12k
30 – 24 + 6 = 12k
12 = 12 ⇒ k = 1

Question 5.
Solve \(\left| \begin{matrix} 4\quad -\quad x & 4\quad +\quad x & 4\quad +\quad x \\ 4\quad +\quad x & 4\quad -\quad x & 4\quad +\quad x \\ 4\quad +\quad x & 4\quad +\quad x & 4\quad -\quad x \end{matrix} \right| \) = 0
Answer:

Put x = 0

∴ x = 0 satisfies the given equation. Hence x = 0 is a root of the given equation. since three rows are identical, x = 0 is a root of multiplicity 2.

Since the degree of the product of the leading diagonal elements (4 – x) (4 – x) (4 – x) is 3. There is one more root for the given equation.


∴ x = – 12 is a root of the given equation.
Hence, the required roots are x = 0 , 0 , – 12

Question 6.
Show that \(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ { x }^{ 2 } & { y }^{ 2 } & { z }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = (x – y) (y – z) (z – x)
Answer:

|A| = 0 since two columns identical
∴ x – y is a factor of A. The given determinant is in the cyclic symmetric form in x, y, and z. Therefore, y – z and z – x are also factors of |A|.

The degree of the product of the factors (x – y) (y – z) (z – x) is 3 and the degree of the product of the leading diagonal elements 1, y, z² is 3. Therefore, the other factor is the constant factor k.

Put x = 0, y = 1, z = -1 we get

Expanding along the first column
1 (1 + 1) = 2k
2 = 2k ⇒ k = 1

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 7 Matrices and Determinants Ex 7.2 Text Book Back Questions and Answers, Notes.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 7 Matrices and Determinants Ex 7.2

Question 1.
without expanding the determinant,

Answer:

= s (a² + b² + c²) × 0
since two columns are equal.
= 0

Question 2.

Answer:

Question 3.
Prove that

Answer:



= 2abc [0 – b(0 – ac) + c(ab – 0)]
= 2 abc [ abc + abc ]
= 2 abc × 2abc
Δ = 4 a²b²c²

Question 4.
Prove that

Answer:

= a [b(1 + c) + c (1)] – 0 – c [0 – b]
= a[b + bc + c] + bc
= ab + abc + ac + bc
= abc + ab + bc + ac
= abc

Question 5.

Answer:

Question 6.
show that \(\left| \begin{matrix} x\quad +\quad 2a & y\quad +\quad 2b & z\quad +\quad 2c \\ x & y & z \\ a & b & c \end{matrix} \right| \) = 0
Answer:
Let Δ = \(\left| \begin{matrix} x\quad +\quad 2a & y\quad +\quad 2b & z\quad +\quad 2c \\ x & y & z \\ a & b & c \end{matrix} \right| \)

Question 7.
Write the general form of a 3 × 3 skew- symmetric matrix and prove that its determinant is 0.
Answer:
A square matrix A = [ a_ij ]3 × 3 is a skew – symmetric matrix if a_ij = – a_ij for all i,j and the elements on the main diagonal of a skew – symmetric matrix are zero.


= 0 – a₁₂ (0 + a₁₃ a₂₃) + a₁₃ (a₁₂ a₂₃ – 0)
= – a₁₂ a₁₃ a₂₃ + a₁₃ a₁₂ a₂₃
= 0
Hence the determinant of a skew – symmetric matrix is 0.

Question 8.

Prove that a, b, c are in G. P or α is a root of ax² + 2bx + c = 0.
Answer:

Question 9.

Answer:

Question 10.
If a, b, c are p^th, q^th and r^th terms of an A.P, find the value of \(\left| \begin{matrix} a & b & c \\ p & q & r \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right| \)
Answer:
Given a, b, c are p^th, q^th and r^th terms of an A.P.
t_p = a = A + (p – 1)D,
t_q = b = A + (q – 1)D,
t_r = c = A + (r – 1) D
where A – first term , D – Common difference of the AP.

Question 11.

Answer:

Question 12.
If a , b , c , are all positive, and are p^th, q^th and r^th terms of a G.P., show that \(\left| \begin{matrix} log\quad a & p & 1 \\ log\quad b & q & 1 \\ log\quad c & r & 1 \end{matrix} \right| \) – 0
Answer:
Given a, b, c are the p^th, q^th and r^th terms of a G.P.
∴ a = AR^p-1, b = AR^q-1, c = AR^r-1
where A is the first term , R – common ratio.

Question 13.
Find the value of

Answer:

Question 14.

Answer:

Question 15.
Without expanding, evaluate the following determinants:
(i) \(\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 8 \\ 6x & 9x & 12x \end{matrix} \right| \)
(ii) \(\left| \begin{matrix} x\quad +\quad y & y\quad +\quad z & z\quad +\quad x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right| \)
Answer:
(i) \(\left| \begin{matrix} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 8 \\ 6x & 9x & 12x \end{matrix} \right| \)

(ii) \(\left| \begin{matrix} x\quad +\quad y & y\quad +\quad z & z\quad +\quad x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right| [

Question 16.
If A is a Square, matrix, and |A| = 2, find the value of |A A^T|.
Answer:
|A| = 2 (Given) |A^T| = 2
Now |AA^T| = |A| |A^T| = 2 × 2 = 4.

Question 17.
If A and B are square matrices of order 3 such that |A| = -1 and |B| = 3, find the value of |3 AB|.
Answer:
Given |A| = -1 : |B| = 3
Given A and B are square matrices of order 3.
∴ |kAB| = k³ |AB|
Here k = 3 ∴ |3AB| = 3³ |AB|
= 27 |AB|
= 27 (-1) (3)
= -81

Question 18.
If λ = – 2, determine the value of

Answer:

Expanding along the first row
Δ = 0 + 4 [4 × 0 – (- 1 ) ( 13)] + [4 × -13 – 0 × – 1]
= 4 [0 + 13] + 1 [- 52 + 0]
= 52 – 52 = 0

Question 19.
Determine the roots of the equation
[latex]\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 20 \\ 1 & -2 & 5 \\ 1 & 2x & { 5x }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = 0
Answer:
\(\left| \begin{matrix} 1 & 4 & 20 \\ 1 & -2 & 5 \\ 1 & 2x & { 5x }^{ 2 } \end{matrix} \right| \) = 0 ………… (1)
Put x = -1 then (1) ⇒

∴ x = – 1 satisfies equation (1)
Hence x = – 1 is a root of equation (1)
Put x = 2 then ……….. (1)

[Property 4: If two rows (columns) of a determinant are identical then its determinant value is zero.]

∴ x = 2 satisfies equation (1)
Hence x = 2 is a root of equation (1)
Hence the required roots are x = -1 , 2

Question 20.
Verify that det (AB) = (det A) (det B) for

Answer:

= 4 [-10 (0 – 9 × 19) – 5 (0 + 17 × 19) + 1 (32 × 9 + 17 × 26)]
= 4 [1710 – 5 × 323 + 288 + 442]
= 4 [1710 – 1615 + 730]
= 4 [2440 – 1615]
= 4 × 825
det (AB) = 3300 …….. (1)

= 4(0 – 21) – 3 (- 5 – 14) – 2 (3 – 0)
= -84 – 3 × – 19 – 6
= -84 + 57 – 6
= -90 + 57
det A = -33 ………… (2)

= 1 (20 – 0) – 3 (- 10 – 0) + 3 (-14 – 36)
= 20 + 30 + 3 × – 50
= 50 – 150
det A = – 100 ……….. (3)

From equations (2) and (3)
(det A) (det B) = – 33 × – 100
(detA) (det B) = 3300 ………… (4)
From equations (1) and (4), we have
det (AB) = (det A) (det B)

Question 21.
Using cofactors of elements of second row, evaluate |A|, where A = \(\left[ \begin{matrix} 5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] \)
Answer:

|A| = a₂₁ A₂₁ + a₂₂ A₂₂ + a₂₃ A₂₃
= 2 × 7 + 0 × 7 + 1 × – 7
= 14 – 7
|A| = 7

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 7 Matrices and Determinants Ex 7.1 Text Book Back Questions and Answers, Notes.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 7 Matrices and Determinants Ex 7.1

Question 1.
Construct an m × n matrix A = [a_ij], where a_ij is given by
(i) a_ij = \(\frac{(\mathbf{i}-2 \mathbf{j})^{2}}{2}\) with m = 2 , n = 3
(ii) a_ij = \(\frac{|3 \mathbf{i}-4 \mathbf{j}|}{4}\) with m = 3 , n = 4
Answer:
(i) a_ij = \(\frac{(\mathbf{i}-2 \mathbf{j})^{2}}{2}\) with m = 2 , n = 3
To construct 2 × 3 matrices.

(ii) a_ij = \(\frac{|3 \mathbf{i}-4 \mathbf{j}|}{4}\) with m = 3 , n = 4
To construct a 3 × 4 matrices.

Question 2.
Find the value of p, q, r and s if

Answer:

Equating the corresponding entries
⇒ p² – 1 = 1
⇒ p² = 1 + 1 = 2
p = ± \(\sqrt{2}\)
-31 – q³ = -4
-q³ = -4 + 31 = 27
q³ = -27 = (-3)³
⇒ q = -3
r + 1 = \(\frac{3}{2}\)
⇒ r = \(\frac{3}{2}\) – 1 = \(\frac{3-2}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
s – 1 = π
⇒ s = – π + 1 (i.e.,) s = 1 – π
So, p = ± \(\sqrt{2}\), q = -3, r = 1/2 and s = 1 – π

Question 3.
Determine the value of x + y if
\(\left[ \begin{matrix} 2x\quad +\quad y & 4x \\ 5x\quad -\quad 7 & 4x \end{matrix} \right] \) = \(\left[ \begin{matrix} 7 & 7y\quad -\quad 13 \\ y & x\quad +\quad 6 \end{matrix} \right]\)
Answer:
\(\left[\begin{array}{cc}{2 x+y} & {4 x} \\ {5 x-7} & {4 x}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{7} & {7 y-13} \\ {y} & {x+6}\end{array}\right]\)
⇒ 2x + y = 7 ………….. (1)
4x = 7y – 13 ………….. (2)
5x – 7 = y …………… (3)
4x = x + 6 ……………. (4)
from (4) 4x – x = 6
3x = 6 ⇒ x = \(\frac{6}{3}\) = 2
Substituting x = 2 in (1), we get
2(2) + y = 7 ⇒ 4 + y = 7 ⇒ y = 7 – 4 = 3
So x = 2 and y = 3
∴ x + y = 2 + 3 = 5

Question 4.
Determine the matrices A and B if they satisfy 2A – B + \(\left[ \begin{matrix} 6 & -6 & 0 \\ -4 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \) = 0 and A – 2B = \(\left[ \begin{matrix} 3 & 2 & 8 \\ -2 & 1 & -7 \end{matrix} \right] \)
Answer:

Question 5.
If A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \), then compute A⁴
Answer:

Question 6.
Consider the matrix A_α = \(\left[ \begin{matrix} cos\quad α & -\quad sin\quad α \\ sin\quad α & cos\quad α \end{matrix} \right] \)
(i) Show that A_αA_β = A_(α+β)
Answer:

(ii) Find all possible real values α satisfying the condition A_α + A_α^T = I
Answer:

Question 7.
If A = \(\left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ -1 & x \end{matrix} \right] \) and such that (A – 2I) (A – 3I) = 0, find the value of x.
Answer:

Question 8.
If A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & -1 \end{matrix} \right] \), show that A² is a unit matrix.
Answer:

Question 9.
If A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{matrix} \right]\) and A³ – 6A² + 7A + kI = 0, find the value of k.
Answer:

Equating the corresponding entries – 2 + k = 0 ⇒ k = 2
∴ The required value of k is k = 2

Question 10.
Give your own examples of matrices satisfying the following conditions in each case:
(i) A and B such that AB ≠ BA
(ii) A and B such that AB = 0 = BA, A ≠ 0 and B ≠ 0.
(iii) A and B such that AB = 0 and BA ≠ 0
Answer:
(i) A and B such that AB ≠ BA

(ii) A and B such that AB = 0 = BA, A ≠ 0 and B ≠ 0.

(iii) A and B such that AB = 0 and BA ≠ 0

Question 11.
Show that f(x) f(y) = f(x + y) , where f(x) = \(\left[ \begin{matrix} cos\quad x & -\quad sin\quad x & 0 \\ sin\quad x & cos\quad x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \)
Answer:

Question 12.
If A is a square matrix such that A² = A, find the value of 7A – (I + A )³
Answer:
Given A² = A
So 7A – (I + A)³ = 7A – (I + 3A + 3A² + A³]
= 7A – I – 3A – 3 A² – A³
Given A² = A
7A – I – 3A – 3A – A³ = -I + A – A³
= -I + A – (A² × A)
= -I + A – (A × A) = -I + A – A²
= -I + A – A = -I
So the value of 7A – (I + A)³ = -I.

Question 13.
Verify the property A (B + C) = AB + AC, when the matrices A, B, and C are given by

Answer:

Question 14.
Find the matrix A which satisfies the matrix relation A\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} \right] \) = \(\left[ \begin{matrix} -7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6 \end{matrix} \right] \)
Answer:

Question 15.
If A^T = \(\left[ \begin{matrix} 4 & 5 \\ -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right] \) and B = \(\left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 1 \\ 7 & 5 & -2 \end{matrix} \right] \)
verify the following
(i) (A + B)^T = A^T + B^T = B^T + A^T
(ii) (A – B)^T = A^T – B^T
(iii) (B^T)^T = B
Answer:

(i) (A + B)^T = A^T + B^T = B^T + A^T

(ii) (A – B)^T = A^T – B^T

(iii) (B^T)^T = B

Question 16.
If A is a 3 × 4 matrix and B is a matrix such that both A^TB and BA^T are defined, what is the order of the matrix B?
Answer:
A is a matrix of order 3 × 4
So AT will be a matrix of order 4 × 3
AT B will be defined when B is a matrix of order 3 × n
BA^T will be defined when B is of order m × 4
from (1) and (2) we see that B should be a matrix of order 3 × 4

Question 17.
Express the following matrices as the sum of a symmetric matrix and a skew – symmetric matrix:
(i) \(\left[ \begin{matrix} 4 & -2 \\ 3 & -5 \end{matrix} \right] \)
Answer:



A = \(\frac{1}{2}\)(A + A^T) + \(\frac{1}{2}\)(A – A^T
Thus A is expressed as a sum of a symmetric and skew-symmetric matrix.

(ii) \(\left[ \begin{matrix} 3 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \\ -4 & -5 & 2 \end{matrix} \right] \)
Answer:

Question 18.
Find the matrix A such that

Answer:

Equating like entries
2a – d = -1, 2b – e = – 8, 2c – f = -10
a = 1, b = 2, c = -5

2a – d = -1 ⇒ 2 × 1 – d = – 1
⇒ 2 + 1 = d ⇒ d = 3

2b – e = – 8 ⇒ 2 × 2 – e = – 8
⇒ 4 + 8 = e ⇒ e = 12

2c – f = -10 ⇒ 2 × – 5 – f = -10
⇒ – 10 – f = -10 ⇒ f = 0

Question 19.
If A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -\quad 2 \\ x & 2 & y \end{matrix} \right] \) is a matrix such that AA^T = 9I, find the values of x and y.
Answer:

Equating the corresponding entries
x + 4 + 2y = 0 ………… (1)
2x + 2 – 2y = o ………… (2)
x + 4 + 2y = 0 ………… (3)
2x + 2 – 2y = 0 ………… (4)
x² + 4 + y² = 9 ………… (5)

Substituting the value of y in equation (1) we have
x + 4 + 2x – 1 = 0
x + 4 – 2 = 0 ⇒ x = – 2
Substituting x = – 2 and y = – 1 in equation(5) we have
(5) ⇒ (-2)² + 4 + (- 1)² = 9
4 + 4 + 1 = 9
9 = 9
∴ The required values of x and y are
x = – 2 and y = – 1

Question 20.
(i) For what value of x, the matrix A = \(\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & -\quad 2 \\ -\quad 1 & 0 & { x }^{ 3 } \\ 2 & -\quad 3 & 0 \end{matrix} \right] \) is skew – symmetric
Answer:

The matrix A is skew-symmetric if A = – A^T

Equating the corresponding entries
x³ – 3 = 0
x³ = 3 ⇒ x = 3^1/3

(ii) If \(\left[ \begin{matrix} 0 & p & 3 \\ 2 & { q }^{ 2 } & -\quad 1 \\ r & 1 & 0 \end{matrix} \right] \) is skew – symmetric find the values of p, q and r.
Answer:

A is skew-symmetric if A = – A^T

Equating the corresponding entries.
p = – 2 , r = – 3
q² = -q² ⇒ q² + q² = 0
⇒ 2q² = 0 ⇒ q = 0
∴ The required values are
p = – 2 , q = 0 , r = – 3

Question 21.
Construct the matrix A = [a_ij]_3×3 , where a_ij = 1 – j. State whether A is symmetric or skew – symmetric.
Answer:

a_ij = i – j
a₁₁ = 1 – 1 = 1
a₁₂ = 1 – 2 = – 1
a₁₃ = 1 – 3 = – 2
a₂₁ = 2 – 1= 1
a₂₂ = 2 – 2 = 1
a₂₃ = 2 – 3 = – 1
a₃₁ = 3 – 1= 2
a₃₂ = 3 – 2 = 1
a₃₃ = 3 – 3 = 0

Question 22.
Let A and B be two symmetric matrices. Prove that AB = BA if and only if AB is a symmetric matrix.
Answer:
Given A and B two symmetric matrices.
∴ A = A^T and B = B^T
First, let us assume AB = BA.
Let us prove AB is a symmetric matrix.

∴ AB is a symmetric matrix.
conversely let us assume that AB is a symmetric matrix.
we prove AB = BA
AB is symmetric then

Question 23.
If A and B are symmetric matrices of the same order, prove that
(i) AB + BA is a symmetric matrix
(ii) AB – BA is a skew-symmetric matrix.
Answer:
Given A and B are symmetric matrices
⇒ – A^T = A and B^T = B
(i) To prove AB + BA is a symmetric matrix.
Proof: Now (AB + BA)^T = (AB)^T + (BA)^T = B^TA^T + A^TB^T
= BA + AB = AB + BA
i.e. (AB + BA)^T = AB + BA
⇒ (AB + BA) is a symmetric matrix.

(ii) To prove AB – BA is a skew symmetric matrix.
Proof: (AB – BA)^T = (AB)^T – (BA)^T = B^TA^T – A^TB^T = BA – AB
i.e. (AB – BA)^T = – (AB – BA)
⇒ AB – BA is a skew symmetric matrix.

Question 24.
A shopkeeper in a Nuts and Spices shop makes gift packs of cashew nuts, raisins, and almonds. The pack contains 100 gm of cashew nuts, 100 gm of raisins, and 50 gm of almonds. Pack – II contains 200 gm of cashew nuts, 100 gm of raisins, and 100 gm of almonds. Pack -III contains 250 gm of cashew nuts, 250 gm of raisins, and 150 gm of almonds. The cost of 50 gm of cashew nuts is ₹ 50, 50 gm of raisins is ₹ 10, and 50 gm of almonds is ₹ 60. What is the cost of each gift pack?
Answer:

Let us consider 50 gm of cashew nuts as one unit, 50 gms of raisins as one unit 50 gm of almonds as one unit.
∴ The Gift pack matrix becomes

Also given 50 gms of Cashew nuts cost = Rs. 50
50 gms of Raisins cost = Rs. 10
50 gms of Almonds cost = Rs. 60
∴ Cost matrix is B = [50 10 60]
∴ Cost of cash gift pack = BA

∴ Cost of I gifts Pack = Rs. 180
Cost of II gift Pack = Rs.340
Cost of III gift Pack = Rs. 480

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th English Guide Pdf Prose Chapter 3 Forgetting Text Book Back Questions and Answers, Summary, Notes.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 11th English Solutions Prose Chapter 3 Forgetting

11th English Guide Forgetting Text Book Back Questions and Answers

I. Based on your understanding of the essay, answer the following questions in one or two sentences each:

Question a.
What does Lynd actually wonder at?
Answer:
Robert Lynd wonders at the efficiency of human memory. He is amazed at the ordinary man’s capacity to remember phone numbers, addresses of friends, appointments for lunch and dinner and many names of actors, actresses and leading players in popular games.

Question b.
Name a few things that a person remembers easily.
Answer:
A person remembers telephone numbers, addresses of his friends, dates of good vintages, appointments for lunch and dinner, etc.

Question c.
How do psychologists interpret forgetfulness?
Answer:
Psychologists believe that humans forget what they don’t want to remember, like taking pills.

Question d.
What is the commonest type of forgetfulness, according to Lynd?
Answer:
According to Lynd the commonest type of forgetfulness occurs in the matter of posting letters.

Question e.
What does the author mean when he says the letter in his pocket leads an unadventurous life?
Answer:
The poet forgets the letters kept in his pocket. Whenever the friend enquires about the unposted letters, it embarrasses him. Then he is forced to produce the evidence of his guilt (i.e.,) the unposted letters. This awkward humiliation is said to be unadventurous.

Question f.
What are the articles the writer forgets most often?
Answer:
The writer forgets books, umbrellas, and walking sticks most often.

Question g.
Who are the citizens of dreamland? Why?
Answer:
Boys who return from cricket and football matches tend to forget bats and balls. Their minds are filled with a vision of the playing field. Their heads are among the stars. They are said to be the citizens of dreamland.

Question h.
What is common about the ‘angler’ and the ‘Poet’?
Answer:
The angler forgets his fishing rod and the poet forgets to post a letter just because their mind is filled with glorious matter.

2. Based on your reading, answer the following questions in two to four sentences each:

Question a.
What made people wonder about the absentmindedness of their fellow beings?
Answer:
The publication of articles lost by train travellers astonished many readers. Old people did not forget much. In fact, young men have forgotten bats and balls on their return from matches.

Question b.
What are our memories filled with?
Answer:
Our memories are filled with the names of actors and actresses, cricketers, footballers, and murderers.

Question c.
When does human memory work with less than its usual capacity?
Answer:
Human memory works with less than its usual capacity in matters like taking medicine. The author explains that human memory represents the willingness to remember certain things. It forgets what it does not wish to remember. Humans are blessed with “selective amnesia”

Question d.
Why according to Lynd should taking medicines be one of the easiest actions to remember?
Answer:
Taking medicines is one of the easiest actions to remember as it should be taken before, during or after meals. The meal itself is a reminder of it.

Question e.
How do the chemists make fortunes out of the medicines people forget to take?
Answer:
The forgotten medicines tend to aggravate the illness. Like a vicious cycle, again they are forced to buy costlier medicines. Thus people who forget to take medicines contribute to the fortunes of chemists.

Question f.
The list of articles lost in trains suggests that sportsmen have worse memories than their ordinary serious-minded fellows. Why does Lynd say this?
Answer:
Sportsmen have worse memories as when they return from the game they have their imagination still filled with a vision of the playing field. They are abstracted from the world outside them and their memories prevent them from remembering small prosaic things.

Question g.
What kind of absent-mindedness is regarded as a virtue by Lynd?
Answer:
Scientists, poets, anglers, and philosophers forget prosaic things. Their minds are absorbed in lofty thoughts and glorious imaginations that they forget ordinary things. Socrates, Tagore, and Einstein had the virtue of absent-mindedness. Einstein usually forgot to change his rocks. Once he even forgot his own house address. The absent-mindedness of such great personalities is a virtue. As they make the best of life, they have no time to remember the mediocre.

Question h.
Narrate the plight of the baby on its day out.
Answer:
The baby taken out by its father was left outside a public house just as the father slipped in for a glass of beer. His wife who came shopping saw the baby and took it home deciding to teach a lesson to her husband. To her surprise, the husband came forgetting all about the baby.

3. Answer the following in a paragraph of about 100-150 words each:

Question a.
You have borrowed a branded cricket bat from your reluctant friend for an outstation match. After returning home you realize you have absent-mindedly left it in the hotel room. Write a letter of apology and regret to your friend.
Answer:
822, Old Peter Road,
Trichy.

Dear Akshay,
Hope this letter of mine would find you in the best of health. First of all, I thank you very much for lending me your branded cricket bat for my match in Chennai. Though you were reluctant at first, you were kind enough to lend it to me later. I really played well with that bat and scored the highest run rate.

Truly it is the luckiest bat. After the match, I kept it safe in the hotel room where I stayed. Because of my weariness, I had a sound sleep that day and was in a hurry to catch my train for the return journey. In that hurry, I forgot to take your bat. Only after reaching Trichy, I realized that I absent-mindedly left your bat in the hotel room itself. I truly regret for the mistake committed by me and beg your pardon.

I know pretty well that it is your precious bat. I am also aware of the fact that you won’t forgive me easily for my action. I have made arrangements to bring back the bat here which may take some time. Kindly bear the inconvenience prevailed and try to forgive me.

With lots of regrets,

Yours affectionately,
Arun.

Question b.
Kahlil Gibran states ‘Forgetfulness is a form of freedom’ Write an article for your school magazine, linking your ideas logically and giving appropriate examples.
Answer:
Forgetting is deemed by many people leading prosaic lives as a mistake or an inefficiency of mind. But in reality, forgetfulness is freedom. Osho is right in his opinion of forgetfulness. In fact, it liberates painful memories and unpleasant things. We need to “let go” painful memories of the past and be free to aspire for better things in life. Robert Frost in his poem, “Let go” talks about a mediocre person’s inability to let go of things that hurt them. The capacity to forget hurtful memories is a real blessing.

If the human mind does not have the capacity to forget, life would be miserable for every one of us. The human mind is such a wonderful machine that it retains what is most important for personal or professional growth and allows the other things to slip away from the bank of memory. But young ones should remember to remember important assignments, deadlines for submission of homework, examination time-tables, and hall tickets before leaving for examination.

To assist memory we can have a checklist before leaving for school. It is often said, “If you fail to plan, you plan to fail.” So, my dear friends, I appeal to you to love whatever work you do. The brain retains in memory whatever you do with great passion, love, and involvement. For a successful life, a strong memory is indispensable. So, cultivate a strong memory. However, I appeal to you to forget failures, betrayals, and hurts to grow into a happy and healthy person.

“Sometimes we survive by forgetting.”

Question c.
Will you sympathize or ridicule someone who is intensely forgetful? Write an essay justifying your point of view.
Answer:
It is a general fact that all human beings are absent-minded at times. I really sympathize with the person who is intensely forgetful. His extreme level of forgetfulness reveals that he is a creative person and a genius. We have heard of great Scientists who are often forgetful. A person becomes absent-minded based on two facts.

One is when his mind is completely filled with stressful thoughts. Another reason is, he may be a creative person whose mind is always thinking of creating something new and forgets the present. Whatever be the reason there is no use ridiculing them.

On the other hand, we can help or guide them to note down important information in their diaries so that they can see to it when they forget something. In Kahlil Gibran’s point of view “Forgetfulness is a form of freedom”. So it can be rightly concluded that those who enjoy that freedom are really blessed.

d) Find the antonyms of the following words in the puzzle and shade them with a pencil. The first one has been done for you:

Answer:

1. Seldom x Often
2. admitted x denied
3. methodical x disorderly
4. reality x fantasy
5. fact x fiction.
6. virtue x vice
7. vile x good
8. indignant x delighted
9. relish x hate

Now, read the following biographical extract on Sujatha Rangarajan, a Science fiction writer, and answer the questions that follow:

1. Sujatha is the allonym of the Tamil author S. Rangarajan and it is this name that is recognized at once by the Tamil Sci-Fi reading community. You might have seen the Tamil movie ‘Endhiran’ where the robot Chitti exhibits extraordinary talents in an incredible manner. The robot could excel a human being in any act, beyond one’s imagination.

Jeeno, a robotic dog which appeared in Sujatha’s science fiction novel “En Iniya lyandhira” (My Dear Robot) formed the basis of Chitti’s character. Like Chitti, Jeeno was an all-rounder who could cook, clean, and fight. High-tech computer technology terms are used in the story. Jeeno, a pet robot, plays an important role throughout the story. As the story proceeds, it behaves and starts to think on its own like a human and instructs Nila, a human being, on how to proceed further in her crises.

2. In the preface of En lniya Iyandhira the writer states the reason for his attraction to the genre: Science gives us the wonderful freedom to analyse thousands and thousands of alternative possibilities. While using it, and while playing with its new games, a writer needs to be cautious only about one thing. The story should draw some parallels or association from the emotions and desires of the present humankind.

Only then it becomes interesting. Jeeno, the robot dog, was intelligent. But the character became popular only because of the robot’s frequently displayed human tendencies’ It is no wonder that all his works echo these words and will remain etched in the minds of the readers who enjoy reading his novels to have a wonderful lifetime experience.

3. It was Sujatha, who set the trend for sci-fi stories. He had tracked the origin from Mary Shelly’s Frankenstein to his short stories. He has written 50 sci-fi short stories and these were published in various Tamil magazines. His stories have inspired many readers to extend their reading to English sci-fi writers like Isaac Asimov.

The themes were bold, even if there was a dependence on very well – established characterization of English fiction. Sujatha opened up a new world to us with his writings on holograms, computers, and works like ‘En Iniya lyanthira’ inspire many to study computer science.

4. He has been one of the greatest writers for more than four decades. He combined reasoning and science in his writings. Being a multifaceted hi-fi and sci-fi humanistic author, he expressed his views distinctively. He was the one who took Tamil novels to the next level.

As an MIT alumnus and an engineer at BHEL, he was very good at technology. He could narrate sci-fi stories impressively. His readers always enjoyed reading all his detective and sci-fi novels which featured the most famous duo ‘Ganesh’ and ‘Vasanth’.

5. Sujatha has played a crucial role as a playwright for various Tamil movies which have fascinated movie lovers. Hence, it is fathomable that the writer’s perspective of future India enthuses every reader and paves a new way to reading sd-fl stories in English.

Find words from the passage which mean the same as the following:

Question 1.
difficult to believe (para 1)
Answer:
incredible

Question 2.
a style or category of art, music or literature (para2)
Answer:
genre

Question 3.
having many sides (para 4)
Answer:
multifaceted

Question 4.
capable of being understood (para 5)
Answer:
fathomable.

ஆசிரியரைப் பற்றி:

ராபர்ட் வில்சன் லிண்ட் (1879-1949) ஒரு ஐனஷ் எழுத்தாளர். 20ம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த கட்டுரையாளர்களில் மிகச்சிறந்தவர். சிறந்த பத்திரிக்கையாளராக தன் பணியைத் தொடங்கினார். தினசரி செய்திதாள்’, ‘புதிய செய்தி, நாடு போன்ற பல பத்திரிக்கைகளில் அதிகமான கட்டுரைகளை எழுதியுள்ளரர்.

தன் படைப்புகள் அனைத்தும் வாசிப்பவரின் ஆர்வத்தை தூண்டக் கூடிய நகைச்சவை, மகிழ்ச்சி, வஞ்சப்புகழ்சி, விமர்சனம் அடிப்படையில் அமைந்திருக்கும்.

1947ல் இவருக்கு குயின்ஸ் பல்கலைக்கழகத்தால் இலக்கியத்திற்கான கௌரவ முனைவர் பட்டம் வழங்கப்பட்டது. இலக்கியத்திற்காக இவருக்கு ராயல் சொனசட்டியால் வெள்ளி பதக்கமும், டைம்ஸ் நிறுவனத்தால் தங்க பதக்கமும் வழங்கப்பட்டது. என்ற இந்த கட்டுரையில் மறதியை பற்றியும், அதன் இயல்பையும் நகைச்சுவையாக எழுதியுள்ளார்.

பாடத்தைப் பற்றி:

இந்த கட்டுரையில் ராபர்ட் லிண்ட் மனிதர்களில் உள்ள மறதிக்கான அடிப்படைக் காரணங்களைப் பற்றி தெளிவாக கூறுகிறார். நாம் எதை மறந்து போகிறோம், அப்படி மறந்து போவதால் ஏற்படும் விளைவுகள், ஏன் மறந்து போகிறோம் என்று பலவிதமான வினாக்களுக்க விடையையும் தருகிறார். மறத்தலைப் பற்றி தெளிவாக இக்கட்டுரையில் காண்போம்.

Forgetting Summary in Tamil

ரயிலில் செல்லும் பயணிகள் தவரவிட்ட பொருட்களை இப்போது லண்டன் நிலையத்தில் விற்பனைக்கு உள்ளதாக அறிவித்தனர். அதை வாசித்த மக்கள் அவர்கள் மறதி மனப்பாங்கை நினைத்து திகைத்தனர். புள்ளி விவரப்படி நான் சந்தேகப்பட்டது போல் இவ்வாறு மறந்து போகுதல் பொதுவான நிகழ்வுதான்.

இவை மனித நினைவின் திறன் மற்றும் திறன் இல்லாததை சொல்லி அதிசயப்பட வைக்கிறது. நவீன மனிதன் கைபேசி எண்களைக்கூட நினைவில் வைத்திருப்பான். அவன் நண்பரின் முகவரியையும் நினைவில் வைத்திருப்பான். பழங்காலத்தில் நடந்த நல்ல நிகழ்வுகளை கூட அவன் நினைத்துப்பார்க்கிறான்.

மதிய உணவு மற்றும் இரவு சாப்பாட்டிற்கான குறிப்பை அவன் ஞாபகம் வைத்திருப்பான். அவனது நினைவுகள் நடிகர், நடிகைகள், கிரிகிகெட் வீரர்கள் மற்றும் கால்பந்து வீரர்கள் மற்றும் கொள்ளையர்கள் என நெரிசலாக இருக்கும்.

கோடை காலத்தில் அவன் நன்றாக உணவு அருந்திய உயர்ரக ஹோட்டலையும், கடந்து சென்ற ஆகஸ்ட் பருவநிலையும் அவனால் சொல்ல முடியும். அவனது சாதாரண வாழ்விலும், அவன் எதையெல்லாம் நினைவு கூற நினைக்கிறானோ அதை அனைத்தையும் நினைவுப்படுத்துவான்.

லண்டனில் உள்ள ஆண்கள் எல்லோரும் காலையில் ஆடை அணியும் போது தங்களின் ஆடைகளின் சிறு துண்டினை மறப்பதுண்டா? நூற்றில் ஒருவர் கூட இல்லை. ஏன் ஆயிரத்தில் ஒருவர் கூட இல்லை. எத்தனை பேர் வீட்டை விட்டு வெளியில் செல்லும் போது வீட்டின் முன் கதவை அடைக்காமல் செல்வோம்.

ஒரு நாள் முழுதும் அவ்வாறு போகிறோம், நாம் படுக்கைக்கு செல்லும் வரை நமது செயலை தெளிவாக செய்கிறோம். ஆனால் ஒரு சாதாரண மனிதன் மேல் மாடிக்கு செல்வதற்கு முன் விளக்குகளை அணைக்க மறக்கிறான்.

சில நேரத்தில் நாம் நமது நினைவுகள் சாதாரணமாக செயல்படுவதை விட குறைந்து செயல்படும். ஒரு முதுநிலை மனிதர் மருத்துவர் அவருக்கு பரிந்துரை செய்ததை மறவாமல் எடுத்து செல்கிறார் என நினைக்கிறேன்.

இது ஆச்சரியம் தரக்கூடிய விஷயம் தான். மருந்துகள் என்பது இயல்பாக நம் நினைவில் இருக்கக்கூடியவை. விதியின் அடிப்படையில் அவை சாப்பாட்டிற்கு முன் அல்லது சாப்பாட்டிற்கு பின்பு மற்றும் உணவு என்ன என்பது கூட நினைவில் இருக்கும்.

உண்மை என்னவென்றால் சில ஒழுக்க அரக்கர்கள் அவர்களது மருந்துகளை ஞாபகம் வைத்திருப்பார்கள்.சில உளவியலாளர்கள் நம்மிடம் கூறுவது நாம் மறக்க நினைக்கும் விஷயத்தை மறக்கிறோம், ஏனெனில் அவை மிகுந்த வெறுப்பான மருந்தாக இருக்கும்; மனிதர்கள் குறிப்பிட்ட நேரத்தில் சாப்பிட மறக்கிறார்கள்.

என்னைப்போல் மருந்துக்கு நீண்ட பக்தனாக இருப்பவர்கள் வெறுப்பாக ஆர்வமில்லாமல் (unwillingly) மறந்து விடுகிறோம். புதிய, பரவலாக விளம்பரப்படுத்தப்படும் சிகிச்சை எனக்கு மிகவும் மகிழ்ச்சியளிக்கிறது.

நான் மருந்துகளை என் பையில் வைத்திருந்தாலும், அதை மறந்து, ஒரு மணி நேரம் கழித்து அதை எடுத்து சாப்பிடுவேன். மருத்துவரின் பொக்கிஷம் (fortunes)அவரின் மருந்தை மக்கள் மறந்து சாப்பிடாமல் இருப்பது.

பொதுவாக நான் மறந்துபோவதாக நினைப்பது கடிதம் அனுப்புவதிலே. பொதுவாக என்னை பார்க்க (சந்திக்க) வருபவரிடம் தயக்கத்துடன் எனது முக்கியமான கடிதத்தை அனுப்ப சொல்வேன். கடிதத்தை கொடுக்கும் முன் என் மீது நம்பிக்கை வர வைப்பேன். என்னிடம் கடிதத்தை அனுப்ப சொல்பவர்கள் என்னைப்பற்றி முழுதும் அறியாதவர்கள்.

நானே எடுத்து சென்றாலும் ஒரு பில்லர் பெட்டியை தாண்டிய பிறகு அடுத்த பெட்டியில் போட ஞாபகம் வரும். கையில் வைத்திருப்பது பதிலாக அதை என் சட்டை பையில் வைத்து அப்படியே மறந்துவிடுவேன்.

அதன் பிறகு, இது ஒரு மகிழ்ச்சியில்லா வாழ்க்கை. சங்கிலிப்போன்ற பிரச்சனைகள், எண்ணற்ற சொல்லமுடியா கேள்விகளை கேட்பது போன்று, என்னை வற்புறுத்தி என்னுடைய குற்ற உணர்வுகளை வெளிப்படுத்த வைக்கும்.

இவை அனைத்தும் மற்றவரின் கடிதம் என்பதால் ஈடுபாடு இல்லாமல் இருக்கலாம், சில கடிதங்கள் நான் எழுத நினைத்தது கூட நான் அனுப்ப மறந்துள்ளேன்.

நான் ரயிலில், Taxi யில் பொருட்களை தவறவிட்டவர்களைப் போல மிகச்சிறந்த மறதியாளன் அல்ல. என் புத்தகத்தையும், Walking stick யும் தவிர மற்ற எல்லாவற்றையும் நினைவுபடுத்திக் கொள்வேன். Walking stick வைத்திருப்பது நடக்க கூடிய காரியம் அல்ல. பழையகால ஆசை அதன் மேல் உண்டு, அடிக்கடி நான் அதை வாங்குவேன்.

எனது நண்பன் வீட்டுக்கு அல்லது ஒரு ரயில் பயணத்திற்கு பிறகு மற்றொன்றை தொலைத்துவிடுவேன். தொலைத்து விடுவேன் என்ற பயத்தில் குடை எடுத்து செல்வதில்லை. வாழ்வில் குடையை நான் தொலைத்தது இல்லை – குள்ளமான குடையை கூட தொலைத்தது உண்டா?

நம்மில் பலர், ஞாபகம் மறதியால் பல பொருட்களை பயணங்களில் இழந்திருக்கிறோம். சாதாரண மனிதன் சேரவேண்டிய இடத்தை அடையும் போது தன் பையையும் பொருளை பத்திரமாக கொண்டு செல்கிறான். அந்த ஆண்டில் ரயிலில் பொருட்களை தவறவிட்டவர்களின் பட்டியலில் பெரும்பாலானோர் இளைஞர்களே. சாதாரண மனிதனை விட விளையாட்டு வீரனுக்கு ஞாபகமின்மை அதிகமாக உள்ளது.

கிரிக்கெட் பேட், கால்பந்து போன்ற எண்ணிலடங்கா பொருட்களே மறக்கப்பட்டுள்ளன. தெளிவாக புரிந்துகொள்ள, ஆண்கள் விளையாடி விட்டு வீடு திரும்பும் போது விளையாட்டு திடலின் நினைவே இருக்கும் – அவர்கள் தலைவர்கள் நட்சத்திரங்கள் மத்தியிலும் – அவர்கள் சிறந்த செயல் (exploit) மற்றும் குறைகளை நினைத்து பார்ப்பார்கள்.

நினைக்க கூடிய (Abstracted) வகையில் உலகம் அவர்களுக்கு வெளியே இருக்கும். நினைவுகளில் சில மந்தமான (Prosaic) செயல்கள் அவர்களுடன் எடுத்து செல்ல நேரிடும்.

மீதி நாட்களில் அவர்கள் கனவு உலகத்தின் குடியுரிமை கொண்டவர்கள். இதேபோல், சந்தேகமின்றி, மீன்பிடிப்பவர்கள் தூண்டிலை மறப்பார்கள். பொதுவாக மீன் பிடிப்பவரை சொல்வது எதன் அடிப்படையில் நியாயப்படுத்த என தெரியவில்லை.

மனிதர்களிள் அவர்கள்தான் கற்பனையாளர்கள், அம்மனிதன் புதிதாக உருவாக்கும் கற்பனையோடு அவன் வீட்டுக்கு செல்லும் போது அது அவன் குணங்களின் சிறு மறதிமனப்பாங்கு தன்மையை காட்டுகிறது.

எதார்த்ததில் மீன் பிடிப்பதை அவர் மறந்துவிட்டு பிறகு Utopia மீன்பிடிப்பை, அச்சத்தை மீறி கற்பனை செய்கிறார். விளையாட்டின் நினைவுகளை மறப்பது நன்மைதான். அவன் மீன்பிடிப்பை மறக்கலாம். ஒருகவிஞன் தனது கடிதத்தை மறக்கலாம், ஏனெனில் அவர் சிந்தனை முற்றிலும் பெருமைக்குரிய விஷயங்கள் நிறைந்திருக்கும்.

மறதிமனப்பான்மை என்னை பொறுத்தவரை சிறந்த குணம்தான். மறதிமனப்பான்மை கொண்டவனது வாழ்க்கை சிறந்ததாக இருக்கும். சாதாரண (mediocre) விஷயங்கள் நினைவுப்படுத்த அவனுக்கு நேரம் இருக்காது. Socrates அல்லது Coleridge நம்பி கடிதத்தை அனுப்ப சொல்வதற்கு சமம்? அவர்களுக்கு செயலில் ஆர்வம் உள்ளது.

கேள்வி என்னவென்றால் நல்ல நினைவுகளை தக்கவைப்பது நல்லது என்று அடிக்கடி பேசப்பட்டு வருகிறது. மனிதனின் தவறான நினைவுகளில் தான் சிறந்தவன் என தோன்றும். அனைத்தும் நினைவில் வைத்திருக்கும் மனிதன் இயந்திரம். அவன் முதல் அறிவாளி என மதிக்கப்படுவான்.

சில இடங்களில் குழந்தைகள் மற்றும் மனிதரின் சிறந்த நினைவுகளை பேச சிறந்தவன் இல்லை. சிறந்த எழுத்தாளர்கள், இசை உருவாக்குபவர்கள் மொத்தத்தில் மிகுந்த ஆற்றல் கொண்ட நினைவுகள் கொண்டவர்கள் என நான் நினைக்கிறேன். நினைவுகள் தான் அவர்கள் கலையின் பாதி சகாப்தம்.

அடுத்ததாக அரசியல் மேதைகள் முற்றிலும் மோசமான நினைவாற்றால் கொண்டவர்கள். இரண்டு அரசியல் மேதைகளை ஒரே செயலைப்பற்றி பேச செய்தால் என்ன நடக்கும். எடுத்துக்காட்டாக அமைச்சரவைக் கூட்டத்தில் ஒவ்வொருவரும் மற்றொருவர் கதையை உண்மையாக வடித்து (seive) தைரியமாக (grid) உரைப்பார்கள்.

ஒவ்வொரு அரசியல் வாதியின் சுயகுறிப்பு மற்றும் பேச்சு மொழி சவால் நிறைந்ததாக இருக்கும் , இந்த உலகம் இன்னும் சிறந்த அரசியல் வாதியை கொண்டுவரவில்லை. ஒரு சிறந்த கவிஞன் மிகுந்த நினைவாற்றல் மற்றும் புத்திகூர்மை உள்ளவனாக இருக்க வேண்டும்.

அதே நேரத்தில், சிறந்த நினைவாற்றால் கொண்ட மனிதரை மதிக்க வேண்டும். நான் ஒரு அப்பாவை அறிந்தவரை அவர் குழந்தையை (Perambulator) குழந்தைகளுக்கான வண்டியில் வைத்து அதிகாலையில் பொது இடம் ஒன்றுக்கு பீர் அருந்த சென்றார்.

சிறிது நேரம் கழித்து அவரது மனைவி அதே இடத்திற்கு பொருட்களை வாங்க வந்தார். அங்கே அவர் தூங்கிக்கொண்டிருக்கும் அவர் குழந்தையை பார்க்கிறார்.

கணவனின் செயலால் கோபம் (Indignant) கொண்டார். சரியான பாடம் கற்பிக்க நினைத்தாள். அவன் அந்த வண்டியை வீட்டிற்கு கொண்டு சென்றார். அவன் வெளியே வந்து பார்க்கும் போது வண்டி அங்கே இல்லை.

அவன் வீட்டிற்கு சென்றான், கவலையான முகத்துடனும் நடுங்கிய (shivering) உதடுகளுடனும் மனைவி முன் நின்று குழந்தையை திருடிவிட்டார்கள் எனக் கூறினான். அவளுக்கு எப்படி எரிச்சல் (vexation) இருந்திருக்கும். இருந்தும் மதிய உணவின் சில நேரத்திற்கு முன்பு சிரித்தும் சந்தோஷப்படுத்தியும் கேட்டார்.

சரி, என் அன்பே, இன்று மதிய சாப்பாடு என்ன? அனைத்து நிகழ்வுகளையும் (குழந்தை மற்றும் நடந்த நிகழ்வுகளை) மறந்து விட்டு செயல்பட்டாள். எத்தனை ஆண்கள் ஞானிகள் விட குறைந்த மறதி மனப்பான்மை பெற்றிருப்பார்கள்? என்று நினைத்து நானும் பயப்படுகிறேன்.

புத்திசாலித்தனமாக திறமையான நினைவுகளுடன் நாம் பிறந்திருக்கிறோம், அப்படி இல்லை எனில், எந்த ஒரு நவீன நகரத்திலும் குடும்பத்தின் நிறுவனம் உயிர்வாழ முடியாது.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th English Guide Pdf Prose Chapter 2 The Queen of Boxing Text Book Back Questions and Answers, Summary, Notes.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 11th English Solutions Prose Chapter 2 The Queen of Boxing

11th English Guide The Queen of Boxing Text Book Back Questions and Answers

1. Antonyms:

Now, find and write the antonyms for the words in Box A from the set of words in Box B:

Question 1.
amateur
Answer:
professional

Question 2.
compulsory
Answer:
optional

Question 3.
traditional
Answer:
modern

Question 4.
expensive
Answer:
cheap

Question 5.
hopeful
Answer:
desperate

Question 6.
accepted
Answer:
refused

2. Based on your reading of the text answer the following questions in two to three sentences each:

Question a.
How did Mary Kom manage to get financial support for her trip to the USA?
Answer:
Mary Kom’s dad gave her Rs. 2,000/-. She spoke to her friend Only about her problem. He took some elders and friends to meet the two Members of Parliament and seek their support. Two MPs donated Rs, 5,000/- and 3,000/- respectively. Thus Mary Kom managed to raise a princely sum of Rs. 10,000/- for her trip to the USA.

Question b.
Why did Mary Kom think that she should not return empty-handed?
Answer:
Mary Kom thought that she should not return empty-handed as the money which the people donated for her, must not go waste.

Question c.
What was her first impression of America?
Answer:
America was cold and beautiful. What little she saw was very pleasing to her eyes. Americans were enormously nice too.

Question d.
Why did she call herself lucky?
Answer:
She did not have any match on the day of her arrival. So she called herself lucky. She was able to take enough rest to face her opponent in the round.

Question e.
According to Mary Kom, What was the reason for her loss in the finals?
Answer:
Mary Kom was not accustomed to American food. The greatest disadvantage was her loss of appetite. She could not eat food however hard she tried. She started losing weight. She was just 46 kg before the finals. This probably cost her the dream of winning the gold in the finals.

Question f.
What made her feel confident about the competitive players? Explain.
Answer:
She was the only one to win a silver medal in the competition, in spite of her weight loss. This made her feel confident about competitive players.

Question g.
What difficulty did she experience while eating Chinese food?
Answer:
Once Mary Kom and her teammates were given chopsticks to eat their food in China. Other friends, asked for spoons and managed. But Mary Kom ended up using both her hands to hold the chopsticks to pick up the food and push it into her mouth. She managed the complex work and satisfied her hunger.

Question h.
How was she felicitated on her return to India?
Answer:
She received a warm welcome and was greeted with garlands, drumbeats, and dancing in the Delhi airport. There were victory ride, thanksgiving prayers, and words of praise and felici¬tation programmes held in Langol.

Question i.
What did she consider her greatest achievement? Why?
Answer:
Mary Kom won a medal in each of the six World Boxing Championships she attended. There were a number of other international level Boxing Championships in Taiwan, Vietnam Denmark, and so on. But it was retaining her world title in 2006 by defeating Steluta Duta of Romania 22-7 at the fourth World Championship in New Delhi that she considered her greatest achievement in life because she was able to win at home.

3. Answer the following questions in a paragraph of about 100-150 words each:

Question 1.
Describe Mary Korn’s personal experiences during her first International Championship match from the time of selection to winning the medal.
Answer:
Mary Kom was selected for the Worlds Women Boxing Championship in the USA in the 48kg category. She was much worried because she did not have enough money for the trip. Her father managed to give her only a small amount. It was with the help of her friend Only. She received a princely sum as a donation from two MP s and a few more from the people. She left for the US with the thought that she could not come back empty-handed for the efforts of her people must not go waste.

When she entered Pennsylvania, she admired the beauty of it. She suffered from jet lag just because she travelled a long distance. Compared to her teammates she was lucky because she was able to take enough rest before she faced her opponent in each round. This made her won the match. She successfully entered the finals. To her bad luck, she lost her weight to 46 kg before her finals. It happened because of her loss of appetite, she lost her gold and won only a silver medal. These were her personal experiences during her first match.

Question 2.
Lack of adequate financial resources and sponsorships often affect sportspersons. How is this evident from Mary Kom’s life?
Answer:
Sports is all about Money. Mary Kom was selected to represent India in Pennsylvania, USA to contest under 48 kg World Women’s Boxing championship. Her father managed to collect only Rs. 2,000/- for her trip. Having heard of the cost of living.in USA, her heart sank. Things were very expensive in America. Her parents could do nothing more. She spoke to Onler and some of her friends. They met two local MPs and sought their help. Two MPs donated Rs. 5,000 and 3,000 respectively. It was only with the princely sum of Rs 10,000/- she was able to leave for USA.

Even after winning the first silver for India her financial worries did not end. Prize money offered respite to her immediate financial worries. She had no savings on her except a few insurance policies. She was getting married. She longed for a Government job under sports quota. With a government job she could follow her dreams with a steady income and flexible work schedule. It was only after she won her second World Women’s Boxing Championship gold, the Manipur state government offered her the job of a Sub-Inspector. Her ‘ first salary of Rs 15,000/- gave her a sense of relief.

“There is an old saying that money can’t buy happiness. If it could, I would buy myself four hits every game.”

Question 3.
Why was Mary Kom named the ‘Queen of Boxing’ and ‘Magnificent Mary?’
Answer:
Mary Kom had a good run from 2001 to 2004. She won several golds. Even after her wedding she participated in boxing and won a gold in the Third and Fourth World Women’s Boxing Championships in October 2005 and November 2006. She also won a number of other international level championships in Taiwan, Vietnam, and Denmark. Her greatest achievement was defeating Steluta Duta of Romania at the Fourth World championships in New Delhi.

It was the most memorable moment for her just because she had that victory in her home country. The other Indian boxers also performed exceptionally well. India won four golds, one silver, and three bronzes. To crown it all India won the overall title too. Thus Mary Kom had a hat-trick victory of World championship Naturally the media christened her ‘Queen of Boxing’ and ‘Magnificent Mary’.

Reading:

Encoding and Decoding:

The passage given below is on Kabbadi. Read the passage and complete the activities that follow:

Kabbadi (கபடி in Tamil) is a contact team sport that originated in Tamil Nadu, India. It is the national sport of Bangladesh. It is also popular in South Asia and is the state game of the Indian states of Tamil Nadu, Kerala, Andhra Pradesh, Bihar, Haryana, Karnataka, Maharashtra, Punjab, and Telangana.

Kabbadi is played between two teams of seven players: the objective of the game is for a single player on offence referred to as a raider, to run into the opposing teams half of a court, tag out as many of their defenders as possible, and return to their own half of the court—all without being tackled by the defenders. Points are scored for each player tagged by the raider, while the opposing team earns a point for stopping the raider.

Players are taken out of the game if they are tagged or tackled but can be ‘revived for each point scored by their team from a tag or tackle. The raider should hold his breath and utter the words like ‘kabbadi kabbadi, hututu hututu, chadu kudu’ etc. while the opponents try to catch him. If he stops uttering these words, he is considered out.

The game is known by its regional names in different parts of the subcontinent, such as Kabbadi or Chedugudu in Andhra Pradesh, Kabbadi in Kerala and Telangana, Hadudu in Bangladesh, Bhavatik in Maldives, Kauddi or Kabbadi in the Punjab Region, Hu-Tu-Tu in Western India and Hu-Do-Do in Eastern India and Chadakudu in South India. The highest governing body of Kabbadi is the International Kabbadi Federation.

Given below is the visual presentation of the first paragraph:

i) Represent the other paragraph in a visual form of your choice (flow chart, mind-map, pie-chart etc.):

ii) Choose the correct option: (Text Book Page No. 42)

Question 1.
A contact sport usually involves _______ contact between players.
a) violent
b) gentle
c) Physical
Answer:
c) Physical

Question 2.
Kabbadi is a game played between _______.
a) seven teams of two players
b) two teams of seven players
c) four teams of seven players
Answer:
b) two teams of seven players

Question 3.
A single _______.
a) Player on offence is referred to as a raider
b) offence is referred to as a raider
c) raider is an offence by the player.
Answer:
a) Player on offence is referred to as a raider

iii) Answer the following:

Question 1.
How does a raider score points for his team?
Answer:
Points are scored for each player by tagging the opponent players.

Question 2.
When does a raider concede a point to the opponent team?
Answer:
When the opposing team stops the raider it earns a point.

Question 3.
Can a player be revived when he/she is out of the game? Explain your answer?
Answer:
He can be revived for each point scored by this team from a tag or tackle.

Question 4.
Kabbadi is called by different names in different parts of India. Do you know how pallankuzhi is called in Karnataka, Andra Pradesh, and Kerala?
Answer:

• Karnataka – Aligulimane
• Andhra Pradesh – Vamana Guntalu
• Kerala – Kuzhipara

ஆசிரியரைப் பற்றி:

மாங்டே சுங்னேஜங் மேரி கோம் ஐந்து முறை குத்துச்சண்டை சேம்பியன்ஷிப் பட்டத்தை வென்ற மிகச்சிறந்த குத்துச்சண்டை வீராங்கனை. 2012ல் நடைபெற்ற ஒலிம்பிக் போட்டிகளில் வெண்கல பதக்கம் வென்றவர். இவர் பள்ளி பருவத்திலேயே வளைக்கோல்பந்து, கால்பந்து, கள விளையாட்டுகள் ஆகியவற்றில் சிறந்து விளங்கினார். சிறந்த குத்துச்சண்டை வீரரும் 1998ஆம் ஆண்டில் நடைபெற்ற ஆசிய விளையாட்டு போட்டிகளில் தங்கம் வென்றவருமான டிங்கோ சிங் என்பவரால் கவரப்பட்டு மேரிக்காம் குத்துச்சண்டை விளையாட்டை விளையாட தொடங்கினார்.

முதன்முதலில் 2001ல் அமெரிக்காவில் உள்ள பெனிசில்வேனியாவில் நடைபெற்ற சர்வதேச குத்துச்சண்டை போட்டியில் சேம்பியன் சிப் வென்ற ஒரே பெண்மணி மேரிக்காம் ஆவார். இவரின் சாதனைக்காக இந்திய அரசால் 2010ல் பத்மஸ்ரீ விருதும் 2013ல் பத்ம பூஷன் விருதும் வழங்கப்பட்டது. 2013ல் இவரின் சுயசரிதை நூலான ‘அன்பிரேக்கபுல்’ என்று நூலை எழுதினார்.

பாடத்தைப் பற்றி:
மேரிக்காம் நம் இந்திய நாட்டை சார்ந்த சிறந்த குத்துச்சண்டை வீராங்கனையாவார். 2001ம் ஆண்டில் நவம்பர் முதல் டிசம்பர் வரை நடைபெற்ற சர்வதேச குத்துச்சண்டை போட்டியில் பெண்களுக்கான 48 எடைபிரிவில் கலந்து கொண்டு வெள்ளிப்பதக்கம் பெற்றவர். அதன்பின் தன் துறையில் சாதிக்க வேண்டும் என்ற நோக்கத்தில் கடின பயிற்சி எடுத்து பல வெற்றிகளைக் கண்டார்.

இரண்டு முறை தான் கலந்து கொண்ட உலக குத்துச்சண்டை போட்டியில் தங்கம் வென்றார். இதனால் இவருக்கு உதவி காவல் ஆய்வாளராக அரசு பணி வழங்கப்பட்டடது திருமணம் ஆன பின்னும் தன் சாதனையை தொடர்ந்து கொண்டு இருக்கிறார். இவரின் சுயசரிதையில் குத்துச் சண்டையின் ராணி- மேரிகாம்” என்று குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இந்த பாடம் இவரின் வாழ்வை முழுமையாய் எடுத்துக்காட்டுகிறது.

The Queen of Boxing Summary in Telugu

பாங்காங் போட்டித்தொடரை அடுத்து நான் 48 கி.கி பிரிவில் சர்வதேச குத்துச்சண்டை கழகத்தில் தேர்வு செய்யப்பட்டேன். (தொடக்கத்தில் கழகத்தின் சர்வதேச டி பாக்ஸி அமெச்சூர் அல்லது (AIBA) உலகளாவிய பெண்கள் குத்துச் சண்டை கழகம் பென்சில்வேனியா, USA, நவம்பர்-டிசம்பர் 2001 யில் நடைபெற்றது.

என் பயணத்திற்கு ரூ. 2000 மட்டுமே என் தந்தையால் ஏற்பாடு செய்ய முடிந்தது. அமெரிக்காவின் செலவீனங்களை, ஆடம்பரத்தை நினைக்கும் போது கவலையும் வருத்தமும் உண்டாகின.

ஆனால் எனது பெற்றோராலும் என்னாலும் எதையும் செய்ய இயலவில்லை. என் நண்பர் ஆன்லரிடம் என் பிரச்சனையை எடுத்துக் கூறினேன். அவன் சில மாணவர்களையும் பெரியவர்களையும் அழைத்துக் கொண்டு நாடாளுமன்றத்தில் இரு உறுப்பினர்களை சந்தித்து உதவி நாடினான்.

இரண்டு அமைச்சர்களும் தலா ரூ.5000 மற்றும் ரூ 3000 அளித்தனர். ஆகமொத்தம் என்னிடம் ரூ10,000 இருந்தது. இத்தொகை போதுமான பணம் என்று USA சென்றேன். பணம் இருப்பது எனக்கு ஆறுதல் அளித்து மக்கள் எனக்காக எடுத்த முயற்சியால் நான் வெறும் கையோடு அங்கிருந்து திரும்பி வர இயலாது.

குளிரும் அழகும் பொருந்திய நகரம் பென்சில்வேனியா. பனி பொழிந்து கொண்டிருந்தது. நாங்கள் விளையாட்டு அரங்கத்தினுள் அனுமதிக்கப்பட்டோம். அது எங்கள் கண்களுக்கு குளுமை அளித்தது. மக்கள் பேரன்புடன் பழகினர். இதுவே என் வாழ்வின் நீண்ட தூர பயணம். நானும் அமெரிக்காவை பார்த்துக்கொண்டே வந்தேன். ஆனால் எங்கள் குழு கடைசியாக வந்ததால் நேரடியாக விமான நிலையத்திலிருந்து விளையாட்டு திடலுக்கு செல்ல வேண்டியிருந்தது.

மற்ற அணி வீரர்கள் ஏற்கனவே அவர்களது எடையை சரிபார்த்தவிட்டார்கள். அது அனைத்து வீரர்களுக்கும் கட்டாயமாகும்.எனக்கு சோர்வாகவும் களைப்பாகவும் இருந்தது. நான் புறப்படும் போது காலை வேலையாக இருந்தது. இப்போது காலை வேலையாக உள்ளது. எடை சரிபார்த்த பிறகு எனக்கு இன்று போட்டிகள் இல்லை என தெரியவந்தது. ஆனால் மற்ற அணிகளுடன் இருப்பவர்களுக்கு அதிர்ஷ்டம் இல்லாமல் இருந்தது.

எனது எதிராளியை சுற்றுகளில் சந்திக்க எனக்கு நல்ல ஓய்வு கிடைத்தது, மேலும் வெல்வேன் என்ற நம்பிக்கை இருந்தது. புது எதிராளியை சந்திக்க போகிறோம் என்ற பயம் அரவே ஒழிந்தது. இந்த சேம்பியன்ஷிப் போட்டியில் 48கிலோ எடைப் பிரிவில் போட்டியிட்டேன்.

எனது அணியில் உள்ளவர்கள் ஒன்றன் பின் ஒன்றாக தோல்வியை சந்தித்தனர். ஆனால் நான் இறுதிச் சுற்றிற்கு முன்னேறினேன். தங்கம் வெல்வேன் என நம்பிக்கை வந்தது. நான் நினைத்தது போல் வீரர்கள் எளிதில் வெல்லக்கூடியவர்கள் அல்ல.

இந்த இடம் மற்றும் நடந்த நிகழ்வுகள் என் வாழ்க்கையில் மாற்றத்தை உண்டாக்கும் என உணர்ந்தேன். நான் எவரையும் காட்சியரங்கில் எதிருக்கு எதிராக சந்திப்பேன், என்று எனக்குள் சொல்லிக் கொண்டே இருந்தேன். கால் இறுதிச்சுற்றில் RSC முறையில் போலாந்தை சேர்ந்த நதியா காக்மியை வீழ்த்தினேன் (defeated-Referee stopped contest RSC நடுவர் போட்டியை நிறுத்துவது.

அதாவது போட்டியில் ஒருவர் உடல் வலிமையற்று போனால் வலிமையானவரை நடுவர் போட்டியின்றி வெற்றி பெற்றவராக அறிவிக்கலாம்). அறை இறுதியில் கனடாவின் ஜெமி பேகலை (Jamie Behal) 21-9 புள்ளிகணக்கில் வீழ்த்தி இறுதிச் சுற்றிற்கு முன்னேறினேன். ஆனால் துருகியின் குலாசாகின்டம் (Hula Sahin) 13-5 என்ற புள்ளி விகிதத்தில் தோல்வியுற்றேன்.

வென்றால் என் பசியின்மை. அங்கு உள்ள உணவை சாப்பிட நான் பழக்கப்படுத்திக் கொள்ளவில்லை. நான் முயற்சித்தாலும் என்னால் உணவு சாப்பிட முடியவில்லை. எனது எடைக் குறைந்தது. இறுதிச் சுற்றுக்கு முன்பு நான் 46 கிலோவாக குறைந்து விட்டேன். தங்கப் பதக்கம் வெல்ல வேண்டும் என்ற கனவை சிதைத்துவிட்டது. நான் என் அறைக்குச் சென்று அழுதேன்.

பயிற்சியாளர்கள் கனிவாக என்னை தேற்றி உற்சாகப்படுத்தி வெள்ளி மடல் பெறச் செய்தனர். அணியில் நான் மட்டுமே பதக்கம் பெற்றிருந்தேன். இந்த தொடர் போட்டியிலிருந்து, நான் எந்த குத்துச்சண்டை வீரரையும் எதிர் கொள்ள முடியும் என்ற முடிவுக்கு வந்தேன்.

வாழ்க்கைப் பயணங்களில் நான் பலவிதமான நாடுகள் மற்றும் இடங்களுக்குச் சென்றிருக்கிறேன். ஒரு நாள் சீனாவில் எங்களுக்கு சாப்பிட பயன்படுத்தும் குச்சி (chopsticks) உணவை சாப்பிட கொடுக்கப்பட்டது. நான் அப்போது தான் கத்தி மற்றும் முள்கரண்டி (fork) கையாலும் கலையைக் கற்றிருந்தேன்.

இரு குச்சிகளை பயன்படுத்தி என் வயிற்றை நிறைக்க வேண்டும். கடைசியில் இருகைகளால் குச்சியை வைத்து உணவை எடுத்து வாயிக்குள் தினித்தேன்.

என் அணியினர் ஸ்பூனைக் கேட்டார்கள். ஆனால் நான் குச்சியை வைத்து சமாளித்து சாப்பிட்டேன். சீன உணவின் மீது ஆர்வம் இருந்தால் அது மிகவும் உதவியது. என் பசியையும் மனதையும் திருப்திபடுத்த நான் போதுமான அளவு உண்டேன்.

ஐந்து ஆண்டுகள் பயணத்தின் பின்பு சில பதப்படுத்தப்பட்ட உணவுகளை வீட்டில் செய்து எடுத்துச் செல்லத் தொடங்கினேன். நான் டெல்லிக்கு திரும்புகையில் விமான நிலையத்தில் உற்சாக வரவேற்பு அளித்தனர்.

பூங்கொத்து, கொடுத்து மேளத் தாளங்கள், ஆட்டங்கள் என உற்சாகமாக என்னை வரவேற்றனர். வெற்றி ஊர்வலம். வரவேற்பு உரை, ஆகியவை லங்கோல் (langol) அரசு குடியிருப்பு பகுதியில் நடந்தது. பாராட்டுகளும், நன்றிகளும் என் மீது தூவப்பட்டன. கலாச்சார பொன்னாடை (shawl) Oja lbomcha என்பவரால் எனக்கு அணிவிக்கப்பட்டது. அன்று நான் லங்கோல் மக்களிடம் எதிர்காலத்தில் நான் கண்டிப்பாக தங்கம் வெல்வேன் என்று கூறினேன்.

முதல் சர்வதேச வெள்ளிப்பதக்கம் எனக்கு பல உண்மைகளை புரியவைத்தது. குத்துச் சண்டைகள் மற்றும் அதை தொடர்ந்து பல விஷயங்கள் என் மனதில் பதிவாகி உள்ளது. வெள்ளிப்பதக்கம் எனக்கு மகிழ்ச்சி தரவில்லை. நான் இந்திய மண்ணைத் தொட்டு அடுத்த முறை தங்கப் பதக்கம் வாங்குவேன் என்று சபதமெடுத்தேன். அது என்னால் முடியும் என்று எனக்குத் தெரியும்.

பென்சில்வேனியாவில் வெள்ளிப்பதக்கமும் பெற்ற பரிசுதொகையும் என்னுடைய அப்போதைய நிதிதேவையை பூர்த்தி செய்தது. நிரந்தர வருமானத்திற்கும் நீண்ட கால பாதுகாப்பிற்கும் எனக்கு ஒரு வேலை தேவைப்பட்டது. அதே சமயம் எனக்கு திருமணம் முடிந்தது. பாலிசிகள் (policies) தவிர என்னிடம் வேறு பணம் ஏதும கிடையாது.

2 வது போட்டித்தொடரில் தங்கம் வென்றேன். மனிப்பூர் அரசு எனக்கு சப்-இன்ஸ்பெக்டர் (உதவி ஆய்வாளர்) பதவியை 2005 ஆம் ஆண்டு வழங்கியது. எனது பெரிய கனவு இவ்வேளையின் மூலம் நிவர்த்தியானது. முதல் வேளையில் ரூ15,000 சம்பாதித்தேன். ஸ்போர்ட்ஸ் கொட்டா மூலம் பெறும் வேலைகளுக்கு சக ஊழியர் போல நாம் சரியாக செல்ல இயலாது. அலுவலகத்தில் உதவி தேவைப்படும் நேரம் மட்டும் செல்வேன். பெரும்பாலும் நான் விடுமுறை எடுக்க வேண்டும்.

எனது திருமணத்திற்கு பிறகும் பதக்கம் நிறைய வென்றேன். குடும்பமும், நண்பர்களும் இதைப்பற்றி பேசாத அளவிற்கு முற்றுப்புள்ளி வைத்தேன். 2005 ஆம் ஆண்டு ரஷ்யாவில் உள்ள Podolsk ல் உலக முதன்மை நிலையில் வென்றேன்.

உலகளாவிய பெண்கள் போட்டித்தொடரில் சரிதா (Sarita) வெண்கலம் வென்றாள். என்னை ஒரு hero-வைப்போல் வரவேற்றனர். Bhagyachandra திறந்த வெளி திரையரங்கில் எங்களுக்கு வரவேற்பு நடந்தது.

2001 முதல் 2004 வரை நான் அதிக புள்ளிகள் எடுத்தேன். நிறைய தங்கப்பதக்கங்கள் பெண்கள் குத்துச்சண்டை தொடரிலும், 2வது பெண்கள் குத்துச்சண்டை பிரிவு 2002, 2 வது ஆசிய குத்துச்சண்டை பிரிவில் இசார்(Hisar) 2003ல் சாம்பியன்சிப், 2013ல் ஹிசாரிலும் Hungary யில் நடைபெற்ற போட்டியிலும் சாம்பியன் சிப் பெற்றேன்.

எனது திருமணத்திற்குப் பிறகு நான் பெற்ற பதக்கங்களை பார்த்து அனைவரும் திகைத்தனர். அக்டோபர் 2005 நவம்பர் 2006 ல் நடைபெற்ற 3-வது, 4-வது உலக பெண்கள் பிரிவில் திருமணத்திற்குப் பிறகு வென்றேன்.

Vietnam, Denmark, Taiwan போன்ற நாடுகளில் பல சர்வதேச தொடர்கள் நடைபெற்றன. 2006-ல் 4 வது உலக தொடரில் ரோமானியாவின் Stelata Duta வை டெல்லியில் வென்றேன். அது என்னுடைய பெரிய வெற்றி என கருதுவேன். இது எனக்கு மறக்க முடியாத ஒன்று.

ஏனென்றால் நான் என் வீட்டில் (நாட்டில்) வெற்றி பெற முடிந்தது. இந்தியா 4 தங்கம் ஒரு வெள்ளி மற்றும் 3 வெண்கல பதக்கங்களை வென்று டைட்டிலை வென்றது. இந்த மூன்று முறை தொடர் சாதனையால் ஊடகம் என்னை குத்துச் சண்டை ராணி மகத்தான மேரி’ (Queen of Boxingand magnificent Mary) என அழைத்தது.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th English Guide Pdf Prose Chapter 1 The Portrait of a Lady Text Book Back Questions and Answers, Summary, Notes.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 11th English Solutions Prose Chapter 1 The Portrait of a Lady

11th English Guide The Portrait of a Lady Text Book Back Questions and Answers

Textual Questions:

1. Answer the following questions in one or two sentences based on your understanding of the story:

Question a.
Describe the grandfather as seen in the portrait.
Answer:
The author’s grandfather looked as if he were a hundred years old with lots of grandchildren. He had loose-fitting garments. He looked too old to have had a wife and children.

Question b.
Why was the author left with his grandmother in the village?
Answer:
The author’s parents went to the city to make a living. So he was left with his grandma till they settle well in the city.

Question c.
Where did the author study in his childhood?
Answer:
The author studied on the veranda of a village temple. He learned letters of the alphabet from the priest.

Question d.
Why did the grandmother accompany the author to school?
Answer:
The grandmother was pious. She accompanied the author to school as it was attached to the temple where she used to sit and read scriptures.

Question e.
What made the dogs follow the grandmother after school hours?
Answer:
Grandmother brought a bundle of stale chapattis with her to the temple. The village dogs followed her. On return, she went on throwing the chapattis to the dogs who growled and fought with each other to have a piece of chapatti.

Question f.
What was the happiest time of the day for their grandmother?
Answer:
The grandma spends half an hour in the afternoon feeding the sparrows. That was the happiest time of the day for grandma.

Question g.
Why didn’t the grandma feel sentimental when the author went abroad for higher education?
Answer:
Half an hour in the afternoon, grandma devoted her time to feeding sparrows. That half-an-hour was the happiest time of the day for grandmother.

2. Answer the following questions in three or four sentences each:

Question a.
Describe the author’s grandmother.
Answer:
The author s grandmother was short, fat, and slightly bent. She was like the winter landscape in the mountains, an expanse of pure white serenity breathing peace and contentment. She was religious, affectionate, and caring.

Question b.
What was the daily routine of the grandmother at home?
Answer:
Grandma started the mornings with a sing-song prayer. She woke up the author bathed and dressed him up and wanted him to learn the prayers by heart. Both would march to the school which was attached to a temple. She would stay inside chanting prayers and telling beads. In the evening, she would throw the stale chapattis to village dogs as they returned home.

Question c.
How is school education in the village different from that in the city?
Answer:
In the village school along with the teaching of subjects, there is the teaching of God and the scriptures, whereas city school concentrates more on western science and learning than with scriptures.

Question d.
The grandmother appreciated the value of education. Give instances in support of your answer.
Answer:
Grandma did have respect for education and that is why she personally monitored the village education of the author. She insisted on good manners and love for all living things. She demonstrated this by feeding village dogs and sparrows. She didn’t object to the author going abroad.

Question e.
The grandmother was strong-minded. Justify.
Answer:
When the author went abroad for his higher studies, She did not show her emotions. She had strong personal likes and dislikes. She was a woman of contentment.

Question f.
How did the grandmother spend the last few hours of her life?
Answer:
When she was in her death bed, she did not like to waste her time talking with the family members instead, She laid peacefully in bed praying and telling her beads.

3. Answer the following in a paragraph of 100 – 150 words each:

Question a.
The grandmother played a vital role in the author’s formative year. Give your own example of how elders have a positive influence on the younger generation. Include examples from the story also.
Answer:
The grandmother really played a vital role in moulding the author in his formative years. She was a good friend of the author during his childhood days. Like most other grandmothers she used to tell him many fables. She made the author get up early in the morning and listen to morning prayer. It was because of her the author inherited both moral and spiritual values.

Even in our day-to-day life, we have seen that there exist some basic differences in the character of children who are in a joint family with that of the children in a nuclear family. The elders in the joint family always have a positive influence over their grandchildren. There is no doubt that they act as the best guide and guardian of the younger generation.

Question b.
As young Khushwant Singh, write a letter to your parents describing your daily routine along with your thoughts and feelings about staying in the village.
Answer:
Dear dad,

I am fine. I feel extremely happy to share my thoughts and feelings of staying in the village with grandmother. First of all, I thank you so much for leaving me with grandma when you left for the city. Grandma is very affectionate towards me and I can’t leave her at any cost. She wakes me up early in the morning and makes me listen to her morning prayer. Though it is monotonous, I like listening to her voice. She makes me get ready for school and gives me chapattis for breakfast.

She accompanies me to school. On the way, we used to feed street dogs with stale chapattis which grandma carries with her daily. When we return from school those dogs follow us till we reach home. She also helps me in my studies. I am very much devoted to the love and affection which she shows to me. I like the atmosphere here and want to stay here for long. Hope you fulfill my wish.

Yours affectionately,
Khushwant Singh.

Question c.
Animals are capable of empathy. Substantiate this statement with examples from the story as well as your own experiences.
Answer:
Animals, which are considered not to have the sixth sense are far better than the human beings who have it. In fact the feeling of empathy is found more in animals than that in humans. In this story, we come to know that the grandmother develops a cordial relationship with the sparrows, whom she feeds daily with bread crumbs.

Those birds are also very affectionate towards her which we can understand by the way they sit on her shoulders, legs, and head. When grandmother died all the sparrows gathered there silently without any chirruping and they did not even touch the bread crumbs offered to them by the author’s mother.

When her corpse was taken away they all flew away silently. This clearly proves the fact that animals are really capable of empathy. The _ dogs which are tamed at home also possess the same feeling of empathy. We have heard of such incidents as where a dog dies just because it can’t tolerate the death of it’s owner.

Vocabulary:

3a. Read the following words and choose the correct antonyms from the options given:

Question 1.
moist
(a) marshy
(b) arid
(c) slimy
(d) sultry
Answer:
(b. arid

Question 2.
frivolous
(a) serious
(b) sad
(c) furious
(d) happy
Answer:
(a) serious

Question 3.
omitted
(a) isolated
(b) rejected
(c) contracted
(d) included
Answer:
(d) included

Question 4.
protest
(a) promote
(b) apprehend
(c) accept
(d) project
Answer:
(c) accept

Question 5.
serenity
(a) simplicity
(b) anxiety
(c) absurdity
(d) stupidity
Answer:
(b) anxiety

Question 6.
scattered
(a) sprinkled
(b) multiplied
(c) gathered
(d) covered
Answer:
(c) gathered

Question 7.
monotonous
(a) interesting
(b) tiresome
(c) fragrant
(d) satisfying
Answer:
(a) interesting

Listening Activity:

Read the following statements and the given options. Now, listen to your teacher to read aloud a passage or play it on a recorder. You may listen to it again if required, to help you choose the right options:

Question i.
According to Napoleon ‘Good mothers make good ________.
a) housewives
b)jobs
c) nations
d)ideas
Answer:
c) nations

Question ii.
Mothers exhibit _______ love.
a) unauthorized
b) unapproved
c) unacceptable
d) unconditional
Answer:
d) unconditional

Question iii.
_______ mothers care much for their children.
a) Adapted
b) Adopted
c) Adoptive
d) Adaptable
Answer:
c) Adoptive

Question iv.
_______ is the most important thing in the world.
a) Wealth
b) Power
c) Love
d) Influence
Answer:
c) Love

Question v.
Love should be extended to _______ too.
a) friends
b) relatives
c) countrymen
d) creatures
Answer:
d) creatures

Reading:

Read the passage on ‘Laughter Therapy’ and answer the questions that follow:

1. Laughing is an excellent way to reduce stress in our lives; it can help you to cope with and survive a stressful life. Laughter provides full-scale support for your muscles and unleashes a rush of stress-busting endorphins. Since our body cannot distinguish between real and fake laughter, anything that makes you giggle will have a positive impact.

2. Laughter Therapy aims to get people laughing, in groups and individual sessions and can help reduce stress, make people and employees happier and more committed, as well as improve their interpersonal skills. This laughter comes from the body and not the mind.

3. Laughter Yoga (Hasya Yoga) is a practice involving prolonged voluntary laughter. It aims to get people laughing
in groups. It is practiced in the early mornings in open-parks. It has been made developed by Indian physician Madan Kataria, who writes about the practice in his 2002 book ‘Laugh for no reason. Laughter Yoga is based on the belief that voluntary laughter provides the same physiological as well as psychological benefits as spontaneous laughter.

4. Laughter yoga sessions may start with gentle warm-up techniques which include stretching, chanting, clapping, eye contact, and body movements to help break down inhibitions and encourage a sense of playfulness. Moreover, laughter is the best medicine. Breathing exercises are used to prepare the lungs for laughter followed by a series of laughter exercises that combine a method of acting and visualization techniques. Twenty minutes of laughter is sufficient to augment physiological development.

5. A handful of small scale scientific studies have indicated that laughter yoga has some medically beneficial effects, including cardiovascular health and mood. This therapy has proved to be good for depressed patients. Laughter therapy also plays a crucial role in social bonding.

Question a.
How does laughter help one to cope with stress?
Answer:
Laughter provides full-scale support for our muscles and unleashes a rush of stress-busting endorphins.

Question b.
Which word in the text (para 2) means the same as ‘dedicated’?
Answer:
Committed

Question c.
Why do you think voluntary laughter provides the same physiological as well as psychological benefits as spontaneous laughter?
Answer:
Our body cannot distinguish between real and fake laughter. Anything that makes us giggle will have a positive impact.

Question d.
‘Laughter is the best medicine’ explains.
Answer:
Laughter improves cardiovascular health and mood. It is also good for depressed patients.

Question e.
Given below is a set of activities. Which of these are followed in the ‘Laughter Yoga’ technique?

• sitting on the ground with legs crossed
• body movements
• clapping
• closed eyes
• breathing exercises
• chanting
• stretching of arms and legs
• bending backwards
• running/jogging
• eye contact

Answer:

• Clapping
• Breathing
• Exercises
• Bending backward
• Stretching of arms and legs

Question f.
‘Laughter therapy also plays a crucial role in social bonding How?
Answer:
When people sit together in laughter there develops a good or cordial relationship among them which improves their social bonding.

ஆசிரியரைப் பற்றி:

குஷ்வந்த் சிங் ஒரு இந்திய நாவலாசிரியர் மற்றும் வழக்கறிஞர். இவர் டெல்லியில் உள்ள புனித ஸ்டீஃபன்ஸ் கல்லூரியிலும் லண்டனில் உள்ள கிங்ஸ் கல்லூரியிலும் கல்வி பயின்றார். இவர் மத்திய அரசின் வெளியுறவுத்துறை பணியில் 1947ம் ஆண்டு சேர்ந்தார்.

இவர் சிறந்த எழுத்தாளராக சிறந்துவிளங்கியதோடு, மதச்சார்பின்மை , விமர்சனம் (நையாண்டி), கவிதை ஆகியவற்றால் புகழ் பெற்றார். 1974ல் இவருக்கு பத்ம விபூஷன் விருதும், 2007ல் சாகித்ய அகாடமி விருதும் இவரின் இலக்கிய பணிகளுக்காக வழங்கப்பட்டது, “விஷ்னுவின் அடையாளம்,” “சீக்கியர்களின் வரலாறு,” ”பாக்கிஸ்தானுக்குச்செல்லும் ரயில்” மேலும் பல இவரின் படைப்புகள் ஆகும்.

பாடத்தைப் பற்றி:

இந்த பாடத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள கதை ஆசிரியருக்கும் (குஷ்வன் சிங்) அவருடைய அன்பான பாட்டிக்கும் இடையிலான பாச பிணைப்பை வெளிக்காட்டுகிறது. வயதான பாட்டி சிறுவனாக இருக்கும் ஆசிரியரை உருவாக்குவதில் காட்டும் அக்கரையை எடுத்துக் காட்டுகிறது. பாட்டிக்கும் சிறுவனுக்கும் இடையில் உள்ள உறவை பார்க்கும் போது மெய்சிலிர்கிறது. பாட்டி முழுக்க முழுக்க பக்திமயமானவர். தன்னுடைய பேரனையும் பக்தியிலும், ஒழுக்கத்திலும் சிறந்தவனாக வளர்க்கிறார். பாட்டி அதிகம் படிக்கவில்லை என்றாலும் அவள் தன் பேரனுக்கு ஓர் சிறந்த ஆசிரியைதான்.

மனிதர்களுக்கு மட்டுமல்லாது விலங்குகளுக்கும் (நாய்), (சிட்டுக்குருவி) பறவைகளுக்கும் உணவழித்து மகிழ்கிறாள். இதைபோன்ற அன்புறவு நாம் நம் பாட்டிகளிடத்திலும் கண்டிருக்கலாம். ஆனால் இத்தலைமுறையினரிடம் இருக்கிறதா? என்றால் கேள்விக்குறிதான். பாட்டி இறக்கும் பொது கூறப்படும் செய்தியை நாம் வாசிக்கும் போது நம்மை அறியாமலே நமக்கு கண்ணீர் வருகிறது. இக்கதையை நாம் முழுமைாக படித்து பாட்டியின் அன்பை புரிந்து கொள்வோம்.

The Portrait of a Lady Summary in Tamil

எனது பாட்டி அனைவரது பாட்டியைப்போல் வயதான பெண்மணி. சுமார் இருபது ஆண்டுகளாய் முதிர்ந்த வயதுடையவளாகவும் சுருங்கிய கண்ணங்களோடும் அவளைப் பார்க்கிறேன். என் சுற்றத்தார் அனைவரும் என் பாட்டி இளமையில் அழகாகவும், (Pretty) இளமையாகவும், (Young) அவருக்கும் கணவர் இருந்தார் எனவும் கூறுவார்கள். அது எனக்கு வியப்பாக இருந்தது. எங்கள் வீட்டின் ஓவிய அறையின் (வரவேற்பு அறை) (Drawing room) மேலே என் தாத்தாவின் புகைப்படம் தொடங்கவிடப்பட்டிருந்தது. அதில் அவர் மிகப்பெரிய தலைப்பாகையும், தளர் ஆடையும் அணிந்திருந்தார்.

அவரின் நீளமான வெண்மை தாடி அவரின் மார்பகம் மறையும் அளவிற்கு இருந்தது, அவரை பார்பதற்கு மனைவி குழந்தைகள் இருப்பவராக மட்டமில்லாமல் அதிகமாக பேரன் பேத்திகளை கொண்டவர் போலும் காணப்பட்டார். எங்கள் பாட்டி அடிக்கடி தான் சிறுவயதில் விளையாடிய விளையாட்டைப் பற்றி எங்களிடம் கூறுவாள். அது அவள் மேல் அபத்தமான மற்றும் மதிப்பிழக்க (Undignified) செய்யும் அளவில் இருந்தாலும் அதை நாங்கள் இறைதூதர் (Prophets) சொல்லும் நீதிக்கதை (Fables) போல் எண்ணிக்கொள்வோம்.

அவள் குள்ளமாகவும் (Short) சாய்வாகவும் (Bent) நடப்பாள். அவள் முகத்தில் எங்கேயும் குறுக்குவெட்டுக் கோடுகளாலான (criss – cross) சுருக்கங்கள் இருக்கும். நாங்கள் அறிந்ததிலிருந்து முதுமை நிலையில், மிகவும் முதுமையான நிலையில் சுமார் இருபது ஆண்டுகள் இருக்கிறாள். அவள் அழகாக இல்லை என்றாலும் அவள் அழகு தான்.

ஒரு கையை கால்களுக்கு ஊன்றுகோளாகவும் மற்றொரு கையில் ஜெபமாலையும் வைத்துக்கொண்டு சிரமப்பட்டு நடப்பாள் (hobbled). வெள்ளியை போன்று முடிகள் அவளது சுருங்கிய முகத்தில் விழுந்து கிடக்கும், அவளது உதடுகள் மௌன ஜெபங்கள் பொழியும் (inaudible). ஆம் அவள் அழகுதான். பனிக்காலத்தில் தோன்றும் இயற்கை பரப்பரப்பு காட்சிபோல் விரிந்து (expanses) அமைதியான சமாதான மனநிறைவுடன் இருப்பாள்.

நானும் எனது பாட்டியும் நல்ல நண்பர்கள். என் பெற்றோர்கள் என்னை என் பாட்டியுடன் விட்டுவிட்டு நகர்ப்புறத்திற்கு சென்றார்கள். என்னை தினமும் காலையில் எழுப்பி பள்ளிக்கூடத்திற்கு புறப்பட செய்வாள். காலையில் என்னை குழிக்க வைக்கும் போதே மாறுபாடின்றி (monotonous) ஜெப கீதங்கள் படிப்பாள். அவை அனைத்தும் நான் என் இதயத்தால் அறிந்து உணர்வேன் என்ற நம்பிக்கையில் பாடுவாள். அவளின் இனிமையான குரலுக்கு நானும் அடிமை.

ஆனால் அவற்றை கற்க முற்கொள்ளமாட்டேன். பின் மரத்தாலான என்னுடைய சிலேட்டை (slate) நன்று துடைத்து அதனுடன் மஞ்சள் வண்ண எழுதுகோல், சிவப்பு பேனா அனைத்தையும் ஒரு கொத்தாக சேர்த்து என்னிடம் கொடுப்பாள். காய்ந்த ரொட்டியில் (சப்பாத்தி) வெண்ணை தடவி சர்க்கரையைத் தூவி காலை உணவை முடித்துவிட்டு நாங்கள் பள்ளிக்கு செல்வோம். அதிகமான காய்ந்த ரொட்டிகளை கிராமத்தில் உள்ள நாய்களுக்கு போட கையில் எடுத்துக் கொண்டு வருவாள்.

பள்ளிக்கூடத்திற்கு அருகே கோவில் இருப்பதால் என் பாட்டி என்னுடனே பள்ளிக்கு வருவாள். புரோகிதர் (பூசாரி – Priest) எங்களுக்கு காலை ஜெபங்கள் மற்றும் ஸ்லோகங்கள் சொல்லித் தருவார்.குழந்தைகள் வரிசையாக அமர்ந்து ஸ்லோகங்கள் சொல்லும்போது என் பாட்டி உள்ளே அமர்ந்து சமயத் திரு நூல்களை வாசிப்பாள்.

அனைத்து வேலைகளையும் முடித்தப் பிறகு இருவரும் சேர்ந்து வீட்டுக்கு செல்வோம். அந்த நேரத்தில் எங்கள் கிராமத்து நாய்க்குட்டிகள் நாங்கள் போட்ட ரொட்டிகைளை தின்றுக்கொண்டு எங்கள் பின்னால் சண்டைப் போட்டுக்கொண்டும், விளையாடிக் கொண்டும் வரும்.

எனது பெற்றோர் நகர்ப்புறத்தில் குடியேறியப் பிறகு எங்களையும் அழைத்துச் சென்றார்கள். அது எங்கள் தோழமைக்கு திருப்பு முனையாக இருந்தது. ஒரே அறையை நாங்கள் பகிர்ந்து கொண்டாலும், என்னுடன் என் பாட்டி பள்ளிக்கு வர இயலவில்லை. நானும் பள்ளிக்கு விசைப்பேருந்தில் (Motorbus) செல்வேன். தெருவில் நாய்களுக்கு உணவு அளிக்க முடியாததால் மொட்டை மாடியில் (Courtyard) குருவிகளுக்கு (Sparrows) உணவு அளிப்பாள்.

வருடங்கள் உருண்டோட நாங்கள் குறைவாக பார்த்துகொண்டோம். சில நேரம் என்னை பள்ளிக்கு புரப்படச்செய்வாள். நான் பள்ளியில் இருந்து வந்ததும் என் ஆசிரியர் எனக்கு கற்பித்த பாடத்தைக் கேட்பாள். நான் ஆங்கில வார்த்தைகள் மற்றும் மேற்கத்திய அறிவியல் பற்றிய படிப்புகள், புவிஈர்ப்புவிசை,அரித்மேட்டிஸ் கொள்கைகள், உலக உருண்டை, ஆகியவற்றைப் பற்றி கூறுவேன். ஆனால், அவை அவளுக்கு மகிழ்ச்சி அளிக்கவில்லை.

கடவுள் மற்றும் புனிதநூல்கள் பற்றி கற்றுத்தராததால் எங்கள் பள்ளியின் மேல் நம்பிக்கை வரவில்லை. ஒருநாள், எங்களுக்கு இசை வகுப்பு நடந்ததாக அவளிடம் கூறினேன். அவள் ஒன்றும் கூறவில்லை . ஆனால் அவளின் அமைதியே அவளின் விருப்பமின்மையைக் கூறியது. அதன்பிறகு என்னுடன் எப்போதாவது தான் பேசுவாள்.

நான் பல்கலைக்கழகத்துக்கு படிக்கச் சென்றபோது. எனக்கு தனி அறை வழங்கப்பட்டது. எங்களது பொது தோழமை முறியப்பட்டது (snapped). எனது பாட்டி தனிமையான (seclusion) இடத்தை ஏற்றுக்கொண்டார். யாருடனும் பேசுவதற்காக மட்டுமே எப்பொழுதாவது தான் சுழற்றும் கைராட்டையை நிறுத்துவாள். காலை தொடங்கி மாலை வரை சுழலும் சக்கரத்தில் அமர்ந்திருந்து பிராத்தனைகளை ஒப்புவிப்பாள்.

மதியவேளை மட்டும் சற்று நேரம் எழுந்து குருவிகளுக்கு உணவு அளிப்பாள். அவள் வீட்டின் தாழ்வாரத்தில் (முற்றத்தில்) அமர்ந்துக் கொண்டு ரொட்டி துண்டை சிறு துண்டுகளாக்கி பறவைகளுக்கு கொடுப்பாள். நூற்றுக்கணக்கான சிறு பறவைகள் அதை எடுத்து சாப்பிட்ட, மெய்யான கூச்சல் குழப்பம் கலகலப்பான ஒலி நிறைந்த இடமாக அது மாறும். சில பறவைகள் அவள் கால்களிலும் சில அவளின் தோள்களிலும் சில பறவைகள் தலையிலும் கூட அமர்ந்திருக்கும். அவற்றைப் பார்த்து சிரிப்பாளே தவிர அவற்றை விரட்டியது இல்லை. அந்த அரைமணி நேரம் அவளுக்கு மகிழ்ச்சியான நேரமாக இருக்கும்.

மேல்நிலைப்படிப்புக்காக நான் வெளிநாடு செல்ல முடிவெடுத்தபோது என் பாட்டி மனமுடைந்து (upset) போவாள் என்று எனக்குத் தெரியும். முதிர்ந்த வயதில் வெளியில் சொல்ல முடியாத வகையில் நான் ஐந்து ஆண்டுகள் அவரை விட்டு பிரிந்து இருந்தேன். அவர் என்னை ரயில் நிலையத்தில் விட்டுச் செல்லும் போது எந்த ஒரு வார்த்தையையும், உணர்வையும் வெளிக்காட்ட வில்லை.

அவளின் உதடுகள் மட்டும் ஜெபங்களை ஒப்பிவித்து கொண்டிருந்தன. அவரது விரல்கள் ஜெபமாலை முத்துக்களை எண்ணிக் கொண்டிருந்த வேலையில், என் நெற்றியில் மெதுவாக முத்தமிட்டாள். நான் அவளை விட்டு வரும்போது நேசத்துக்குரிய பாசம் தென்பட்டாலும் அது எங்களது கடைசி உடல்தொடர்பு என உணர்ந்தேன்.

ஆனால், அது அப்படி நடக்கவில்லை . ஐந்து ஆண்டுகள் கழித்து திரும்பி வந்து மறுபடியும் புகைவண்டி நிலையத்தில் நான் பாட்டியை சந்தித்தேன். அவளின் பழைய இயல்பை பார்க்கவில்லை. அவள் வாயில் வார்த்தைகள் இல்லை அவள் என்னை கட்டி அனைத்தாள். அப்போதும் அவள் ஒப்புவிக்கும் ஜெபத்தை நான் கேட்கமுடிந்தது. எனது முதல் நாளில் அவளின் மகிழ்ச்சியான தருணங்களாக நினைத்து, நீண்ட நாட்களாக உணவளித்த பறவைகளைக் கடிந்து கொண்டாள்.

மாலை நேரத்தில் அவளிடத்தில் ஒரு மாறுதல் தெரிந்தது. அவள் ஜெபங்கள் இப்போது செய்வதில்லை. பக்கத்து வீட்டில் உள்ள பெண்களை அழைத்து பழைய கொட்டு ஒன்றை வைத்துப் பாட்டு பாடுவாள். பல மணி நேரமாக பழமையான கொட்டை வைத்து (Dilapidated drum) (தாயகம்) வீடு திரும்பும் வீரர்களின் பாடலை பாடினாள். நாங்கள் அவளை கடுஞ்சோர்வு அடைந்துவிடக் கூடாது என்பதற்காக நிறுத்துவோம். அவள் ஜெபம் செய்யாமல் பார்ப்பது இதுவே முதல்முறை.

மறுநாள் காலையில் அவளுக்கு உடம்பு சரியில்லாமல் போய்விட்டது. மிதமான காய்ச்சல்தான். மருத்துவர் அது எளிதில் குணமாகிவிடும் என கூறினார். என் பாட்டி வேறுமாதிரி நினைத்தாள். என் வாழ்க்கையின் கடைசி அகராதியை (இறப்பு) முடிப்பதற்கே ஜெபங்கள் செய்வதை விலக்கி வைக்கிறேன் என்றும், எங்களோடு பேசி நேரத்தை வீணாக்க விரும்பவில்லை என்றும் கூறினாள்.நாங்கள் போராடினோம் (Protested).

ஆனால் அவள் எங்கள் போராட்டத்தை புறக்கணித்தாள் (Ignored). தனது படுக்கையில் அமைதியாக படுத்துகொண்டு ஜெபங்கள் மற்றும் மணிகள் சொல்லிக்கொண்டாள். நாங்கள் நினைப்பதற்க்குள் ஜெபமாலை அவளின் உயிரற்ற விரல்களில் இருந்து கீழே விழுந்தது. ஒரு அமைதியான வெளுப்பு நிறம் (Pallor) அவள் மேல் தோன்றியது. பின்பு அவள் இறந்தது எங்களுக்குத் தெரிந்தது.

நாங்கள் அவளை கட்டிலில் இருந்து கீழே இறக்கி வைத்து எங்களின் சம்பிரதாய முறைப்படி அவரின் உடலை சிவப்பு துணிகளால் சுற்றினோம். சற்று நேரம் அழுதுவிட்டு இறுதிச் சடங்கு (Funeral) ஏற்பாடு செய்ய சென்றோம். மாலை நேரத்தில் அவரது அறைக்கு சென்று stretcherல் எடுத்துக்கொண்டு அடக்கம் செய்ய சென்றோம். சூரியன் மறையும் போது அவரது அறையில் உள்ள விளக்கிலும் ஒளியை ஏற்றிவிட்டு சென்றோம். நாங்கள் பாதி வழியில் திண்ணையில் நின்றோம்.

என் பாட்டியின் அறை தாழ்வாரத்தில் (முற்றத்தில்); அவளை சுற்றி உள்ள துணிகளில் குருவிகள் நின்றுக் கொண்டிருந்தன. அங்கு மகிழ்ச்சி இல்லை. நாங்கள் அவற்றைப்பார்த்து வருந்தினோம். என் அம்மா அவற்றிற்கு சில ரொட்டி துண்டுகள் போட்டாள். ஆனால் அக்குருவிகள் அவற்றை பார்க்க கூட இல்லை. நாங்கள் என் பாட்டியின் பிணத்தை எடுத்துச் செல்லும் போது அவைகளும் மெதுவாக பறந்து சென்றன. அடுத்த நாள் தூய்மை செய்பவர் ரொட்டி துண்டுகளை கூட்டி குப்பைத் தொட்டியில் போட்டார்.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 6 Two Dimensional Analytical Geometry Ex 6.5 Text Book Back Questions and Answers, Notes.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 Two Dimensional Analytical Geometry Ex 6.5
Choose the correct or more suitable answer.

Question 1.
The equation of the locus of the point whose distance from y – axis is half the distance from origin is
(1) x² + 3y² = 0
(2) x² – 3y² = 0
(3) 3x + y² = 0
(4) 3x² – y² = 0
Answer:
(4) 3x² – y² = 0

Explaination:

Let the point be (h,k)
Equation of y axis is x = 0
Given the distance of the point from y – axis is
\(\frac{1}{2}\) × distance of the point from the origin Distance of the point (h, k) from the y- axis is
= \(\frac{\mathrm{h}}{\sqrt{1^{2}}}\) = h
The distance of the point P (h , k) from the origin

Squaring on both sides
4h² = h² + k²
4h² – h² – k² = 0
3h² – k² = o
The locus of ( h, k ) is 3x² – y² = 0

Question 2.
Which of the following equation is the locus of (at², 2at)
(1) \(\frac{x^{2}}{\mathbf{a}^{2}}-\frac{\mathbf{y}^{2}}{\mathbf{b}^{2}}\) = 1
(2) \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
(3) x² + y² = a²
(4) y² = 4ax
Answer:
(4) y² = 4ax

Explaination:
y² = 4ax ⇒ Equation that satisfies the given point (at², 2at)

Question 3.
Which of the following points lie on the locus of 3x² + 3y² – 8x – 12y + 17 = 0
(1) (0, 0)
(2) (-2, 3)
(3) (1, 2)
(4) (0, – 1)
Answer:
(3) (1, 2)

Explaination:
The point that satisfies the given equations (0, 0) ⇒ 17 ≠ 0
(-2, 3) ⇒ 3 (4) + 3 (9) + 16 – 36 + 17 ≠ 0
(1, 2) ⇒ 3 + 3 (4) – 8 (1) – 12 (2) + 17
32 – 32 = 0, 0 = 0

Question 4.
If the point (8, – 5) lies on the focus \(\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{25}\) = k, then the value of k is
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
Answer:
(4) 3

Explaination:
Given the point (8, – 5) lies on the locus

Question 5.
Straight line joining the points (2, 3) and (- 1, 4) passes through the point (α, β) if
(1) α + 2β = 7
(2) 3α + β = 9
(3) α + 3β = 11
(4) 3α + β = 11
Answer:
(3) α + 3β = 11

Explaination:
The equation of the straight line joining the points (2, 3) and (-1, 4) is

x – 2 = – 3(y – 3)
x – 2 = – 3y + 9
x + 3y – 2 – 9 = 0
x + 3y – 11 = 0
Given (α, P) lies on this line
α + 3β – 11 = 0

Question 6.
The slope of the line which males an angle 45°with the line 3x – y = – 5 are
(1) 1, – 1
(2) \(\frac{1}{2}\), – 2
(3) 1, \(\frac{1}{2}\)
(4) 2, –\(\frac{1}{2}\)
Answer:
(2) \(\frac{1}{2}\), – 2

Explaination:

The equation of the given line is
3x – y + 5 = 0 ………… (1)
the slope of the line (1) is m = tan θ

Angle made by the required line = θ + 45°
where tan θ = 3
Required slope m₁ = tan (θ + 45° )

Question 7.
Equation of the straight line that forms an isosceles triangle with coordinate axes in the
1-quadrant with perimeter 4 + 2√2 is
(1) x + y + 2 = 0
(2) x + y – 2 = 0
(3) x + y – √2 = 0
(4) x + y + √2 = 0
Answer:
(2) x + y – 2 = 0

Explaination:
Let OAB be the isosceles triangle formed in the first quadrant. Let OA = OB = a
In the right angle A OAB
AB² = OA² + OB²
AB² = a² + a² = 2a²
AB = √2a

Question 8.
The coordinates of the four vertices of a quadrilateral are (-2, 4), (-1, 2), (1, 2) and (2, 4) taken in order. The equation of the line passing through the vertex (-1, 2 ) and dividing the quadrilateral in the equal areas is
(1) x + 1 = 0
(2) x + y = 1
(3) x + y + 3 = 0
(4) x – y + 3 = 0
Answer:
(4) x – y + 3 = 0

Explaination:

ABCD is a quadrilateral in which the sides AD and BC are parallel. Draw AE and DF perpendicular to BC. ADFE is a square with sides
AD = AE = EF = DF = 2
Area of ADFE = 2 × 2 = 4
In ∆ AEB , BE = 1, AE = 2
∴ Area of ∆ AEB = \(\frac{1}{2}\) × 1 × 2 = 1
Similarly Area of ∆ DFC = 1
∆ Area of the quadrilateral A B C D = 4 + 1 + 1 = 6
Given the line through the vertex (- 1, 2 ) divides the quadrilateral ABCD into two half.
Let E (x , 4) is the point on the line BC such that the line DE divides the area of the quadrilateral ABCD into two half.
∴ Area of ∆ EDC = 3
\(\frac{1}{2}\) × EC × height = 3
\(\frac{1}{2}\) × (x + 2) × 2 = 3
x + 2 = 3 ⇒ x = 1
∴ The coordinates of E are (1, 4)
The equation of the line joining the points (- 1, 2) and (1, 4) is

x – 1 = y – 4
x – y + 3 = 0

Question 9.
The intercepts of the perpendicular bisector of the line segment joining (1,2) and (3,4) with coordinate axes are
(1) 5, – 5
(2) 5, 5
(3) 5, 3
(4) 5, – 4
Answer:
(2) 5, 5

Explaination:
Let the given points be A (1, 2) and B (3, 4) P( h,k )be a point in the plane such that PA = PB

Squaring on both the sides
(h – 1)² + (k – 2)² = (3 – h)² + (k – 4)²
h² – 2h + 1 + k² – 4k + 4 = 9 – 6h + h² + k² – 8k + 16
– 2h – 4k + 5 = – 6h – 8k + 25
6h + 8k – 2h – 4k + 5 – 25 = 0
4h + 4k – 20 = 0
h + k – 5 = 0
The locus of (h, k)is x + y – 5 = 0 which is the perpendicular bisector of A and B
x + y = 5
\(\frac{x}{5}+\frac{y}{5}\) = 1
x – intercept = 5 , y – intercept = 5

Question 10.
The equation of the line with slope 2 and the length of the perpendicular from the origin equal to √5 is
(1) x + 2y = √5
(2) 2x + y = √5
(3) 2x + y = 5
(4) x + 2y – 5 = 0
Answer:
Let the equation of the required line be
y = mx + c ……….. (1)
Given Slope m = 2
(1) ⇒ y = 2x + c
2x – y + c = 0 ……….. (2)
The length of the perpendicular from (0, 0) to line (2)

Substituting for c in equation (2), we have
2x – y + 5 = 0

Question 11.
If a line is perpendicular to the line Sx-y = 0 and forms a triangle with the coordinate axes of area 5 sq. units, then its equation is
(1) x + 5y ± 5√2 = 0
(2) x – 5y ± 5√2 = 0
(3) 5x + y ± 5√2 = 0
(4) 5x – y ± 5√2 = 0
Answer:
(1) x + 5y ± 5√2 = 0

Explaination:

The equation of the given line is 5x – y = 0 —— (1)
The equation of any perpendicular to line (1) is
-x – 5y + k = 0
x + 5y – k = 0 —– (2)
x + 5y = k

x- intercept = k , y – intercept = \(\frac{\mathrm{k}}{5}\)
The line (2) intersect the x-axis at A and y-axis at B
∴ A is (k, 0) and B is \(\left(0, \frac{k}{5}\right)\)
OA = k and OB = \(\frac{\mathrm{k}}{5}\)
Area of ∆ OBA = \(\frac{1}{2}\) × OA × OB

∴ The required equation is x + 5y = ± 5√2

Question 12.
Equation of the straight line perpendicular to the line x – y + 5 = 0 through the point of intersection y-axis and the given line
(1) x – y – 5 = 0
(2) x + y – 5 = 0
(3) x + y + 5 = 0
(4) x + y + 10 = 0
Answer:
(2) x + y – 5 = 0

Explaination:
The equation of the given line is
x – y + 5 = 0 ………. (1)
To find the point of intersection with y – axis, Put x = 0 in (1)
0 – y + 5 = 0 ⇒ y = 5
∴ The point of intersection is ( 0, 5)
The equation any line perpendicular to line (1) is
– x – y + k = 0
x + y – k = 0
This line passes through the point (0,5)
0 + 5 – k = 0 ⇒ k = 5
∴ The equation of the required line is
x + y – 5 = 0

Question 13.
If the equation of the base opposite to the vertex (2, 3) of an equilateral triangle is x + y = 2, then the length of a side is
(1) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(2) 6
(3) √6
(4) 3√2
Answer:
(3) √6

Explaination:
∆ ABC is an equilateral triangle. Vertex A is (2, 3)
Equation of the base BC is x + y = 2
Draw AD ⊥ BC. By the property of the equilateral triangle, D is the midpoint of BC
BD = DC
Let AB = a
AD = length of the perpendicular from A (2, 3) to the line x + y – 2 = 0

Question 14.
The line (p + 2q)x + (p – 3q)y = p – q for different values of p and q passes through the point
(1) \(\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)\)
(2) \(\left(\frac{2}{5}, \frac{2}{5}\right)\)
(3) \(\left(\frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right)\)
(4) \(\left(\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\right)\)
Answer:
(4) \(\left(\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\right)\)

Explaination:
The equation of the given line is
(p + 2q)x + (p – 3q)y = p – q ……….. (1)

Question 15.
The point on the line 2x – 3y = 5 is equal distance from (1, 2), and (3, 4) is
(1) (7, 3)
(2) (4, 1)
(3) (1, – 1)
(4)(-2, 3)
Answer:
(2) (4, 1)

Explaination:
Let P (h, k) be a point on the line
2x – 3y – 5 = 0

Then 2h – 3k – 5 = 0 ……….. (1)
Let A (1, 2) and B ( 3, 4) be the given points such that PA = PB

Squaring on both sides
(h – 1)² + (k – 2)² = (h – 3)² + (k – 4)²
h² – 2h + 1 + k² – 4k + 4 = h² – 6h + 9 + k² – 8k + 16
-2h + 1 – 4k + 4 = – 6h + 9 – 8k + 16
-2h – 4k + 5 = – 6h – 8k + 25
6h – 2h + 8k – 4k + 5 – 25 = 0
4h + 4k – 20 = 0
h + k – 5 = 0 …………. (2)
To find P (h, k), Solve (1) and (2)

(2) ⇒ h + 1 – 5 = 0
h – 4 = 0 ⇒ h = 4
∴ The required point p(h, k) is (4, 1)

Question 16.
The image of the point (2, 3) in the line y = -x is
(1) (-3, -2)
(2) (-3, 2)
(3) (-2, -3)
(4) (3, 2)
Answer:
(1) (- 3, – 2)

Explaination:
The equation of the given line is y = -x
x + y = 0 ………… (1)
The coordinates of the image of the point (x₁, y₁) with respect to the line ax + by + c = 0 are given by

∴ The coordinates of the image of the point (2, 3) with respect to the line x + y = 0 are given by

x – 2 = y – 3 = – 5
x – 2 = -5 ⇒ x = -5 + 2 = -3
y – 3 = -5 ⇒ y = -5 + 3 = -2
∴ The required point is (-3, -2)

Question 17.
The length of perpendicular from the origin to the line \(\frac{x}{3}-\frac{y}{4}\) = is
(1) \(\frac{11}{5}\)
(2) \(\frac{5}{12}\)
(3) \(\frac{12}{5}\)
(4) –\(\frac{5}{12}\)
Answer:
(3) \(\frac{12}{5}\)

Explaination:
The equation of the given line is \(\frac{x}{3}-\frac{y}{4}\) = 1
\(\frac{4 x-3 y}{12}\) = 14x – 3y = 12
4x – 3y – 12 = 0
The length of the perpendicular from (0, 0) to the line 4x – 3y – 12 = 0 is

Question 18.
The y – intercept of the straight line passing through (1, 3) and perpendicular to 2x – 3y + 1 = 0 is
(1) \(\frac{3}{2}\)
(2) \(\frac{9}{2}\)
(3) \(\frac{2}{3}\)
(4) \(\frac{2}{9}\)
Answer:
(2) \(\frac{9}{2}\)

Explaination:
The equation of the given line is
2x – 3y + 1 = 0 …………. (1)
The equation of any line perpendicular to (1) is
-3x – 2y + k = 0
3x + 2y – k = 0 ………… (2)
This line passes through the point (1, 3)
∴ (2) ⇒ 3 × 1 + 2 × 3 – k = 0
3 + 6 – k = 0 ⇒ k = 9
∴ (2) ⇒ 3x + 2y – 9 = 0 ………. (3)
2y = – 3x + 9
y = \(-\frac{3}{2} x+\frac{9}{2}\)
∴ The required y – intercept is \(\frac{9}{2}\)

Question 19.
If the two straight lines x + (2k – 7)y + 3 = 0 and 3kx + 9y – 5 = 0 are perpendicular, then the value of k is
(1) k = 3
(2) k = \(\frac{1}{3}\)
(3) k = \(\frac{2}{3}\)
(4) k = \(\frac{3}{2}\)
Answer:
(1) k = 3

Explaination:
The equation of the given lines are
x + (2k – 7)y + 3 = 0 ……….. (1)
3kx + 9y – 5 = 0 …………. (2)
Slope of line (1), m₁ = \(-\frac{1}{2 k-7}\)
Slope of line (2), m₂ = \(-\frac{3 \mathbf{k}}{9}\)
Given that lines (1) and (2) are perpendicular
∴ m₁ m₂ = -1

k = -3(2k – 7)
k = -6k + 21
6k + k = 21
⇒ 7k = 21
k = \(\frac{21}{7}\) = 3

Question 20.
If a vertex of a square is at the origin and it’s one side lies along the line 4x + 3y – 20 = 0
then the area of the square is
(1) 20 sq. units
(2) 16 sq. units
(3) 25 sq. units
(4) 4 sq. units
Answer:
(2) 16 sq. units

Explanation:

OABC is a square in which the vertex O lies on the origin and the side AB along the line 4x + 3y – 20 = 0
OA = length of the perpendicular from (0, 0) to the line 4x + 3y – 20 = 0

∴ The length of the side of the square is 4 units.
∴ Area of the square = 4 × 4 = 16 sq. units

Question 21.
If the lines represented by the equation 6x² + 41xy – 7y² = 0 make angles α and β with x-axis then tan α . tan β =
(1) –\(\frac{6}{7}\)
(2) \(\frac{6}{7}\)
(3) –\(\frac{7}{6}\)
(4) \(\frac{7}{6}\)
Answer:
(1) –\(\frac{6}{7}\)

Explaination:
The equation of the given pair of lines is
6x² + 41xy – 7y² = 0 ……….. (1)
Let m₁, m₂ be slopes of the individual lines.
Given that the individual lines make angles α and β with x – axis.
∴ m₁ = tan α and m₂ = tan β
we have m₁ m₂ = \(\frac{a}{b}\) = \(\frac{6}{-7}\)
∴ tan α tan β = \(-\frac{6}{7}\)

Question 22.
The area of the triangle formed by the lines x² – 4y² = 0 and x = a is
(1) 2a²
(2) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(3) \(\frac{1}{2}\)
(4) \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
Answer:
(3) \(\frac{1}{2}\)

Explaination:

The equation of the given pair of straight lines is
x² – 4y² = 0
x² – 4y² = (x + 2y) (x – 2y)
∴ The separate equations of the straight lines are
x + 2y = 0 ………… (1)
x – 2y = 0 …………. (2)
The line x = a intersect the line (1) at A.
a + 2y = 0 ⇒ y = \(-\frac{a}{2}\)
∴ A is \(\left(a,-\frac{a}{2}\right)\)
The line x = a intersect the line (2) at B.

Question 23.
If one of the lines given by 6x² – xy – 4cy² = 0 is 3x + 4y = 0,then c equals to
(1) -3
(2) -1
(3) 3
(4) 1
Answer:
(1) -3

Explaination:
The given pair of straight lines is 6x² – xy – 4cy² = 0 ………. (1)
One of the separate equation is 3x + 4y = 0 ……… (2)
Let the separate equation of the other line be ax + by = 0 ………. (3)
∴ (ax + by) (3x + 4y) = 6x² – xy + 4cy²
3ax² + 4axy + 3bxy + 4by² = 6x² – xy + 4cy²
Equating the coefficient of y² on both sides
4b = 4c ⇒ c = b
Equating the coefficient of x² on both sides
3a = 6
⇒ a = \(\frac{6}{3}\) = 2
Equating the coefficient of xy both sides
4a + 3b = -1
4 × 2 + 3b = -1 ⇒ 3b = -1 – 8
b = \(-\frac{9}{3}\) = -3
∴ c = -3

Question 24.
θ is acute angle between the lines x² – xy – 6y² = 0 then \(\frac{2 \cos \theta+3 \sin \theta}{4 \cos \theta+5 \cos \theta}\) is
(1) 1
(2) \(-\frac{1}{9}\)
(3) \(\frac{5}{9}\)
(4) \(\frac{1}{9}\)
Answer:
(3) \(\frac{5}{9}\)

Explaination:
The equation of the given pair of lines is
x² -xy – 6y² = 0
a = 1, 2h = -1, b = -6
Given θ is the angle between the lines

Question 25.
The equation of one of the lines represented by the equation x² + 2xy cot θ – y² = 0 is
(I) x – y cot θ = 0
(2) x + y tan θ = 0
(3) x cos θ + y (sin θ + 1) = 0
(4) x sin θ + y(cos θ + 2) = 0
Answer:
(4) x sin θ + y(cos θ + 2) = 0

Explaination:
The equation of given pair of straight line is
x² + 2xy cot θ – y² = 0
x² + (2y cot θ)x + (-y²) = 0
This is a quadratic equation in x. Solving for x, we have

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 6 Two Dimensional Analytical Geometry Ex 6.4 Text Book Back Questions and Answers, Notes.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 Two Dimensional Analytical Geometry Ex 6.4

Question 1.
Find the combined equation of the straight lines whose separate equations are x – 2y – 3 = 0 and x + y + 5 = 0.
Answer:
Separate equations are x – 2y – 3 = 0; x + y + 5 = 0
So the combined equation is (x – 2y – 3) (x + y + 5) = 0
x² + xy + 5x – 2y² – 2xy – 10y – 3x – 3y – 15 = 0
(i.e) x² – 2y² – xy + 2x – 13y – 15 = 0

Question 2.
Show that 4x² + 4xy + y² – 6x – 3y – 4 = 0 represents a pair of parallel lines.
Answer:
The equation of the given pair of straight lines is
4x² + 4xy + y² – 6x – 3y – 4 = 0 ………. (1)
Compare this equation with the equation
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 ………. (2)
a = 4, 2h = 4, b = 1, 2g = -6,
2f = -3, c = – 4
The condition for parallelism is
h² – ab = 0
2² – (4) (1) = 4 – 4 = 0
∴ The given pair of straight lines represents a pair of parallel straight lines.

Question 3.
Show that 2x² + 3xy – 2y² + 3x + y + 1 = 0 represents a pair of perpendicular straight lines.
Answer:
Comparing the given equation with the general form a = 2,h = 3/2, b = -2,g= 3/2, f = 1/2 and c = 1
Condition for two lines to be perpendicular is a + b = 0. Here a + b = 2 – 2 = 0
⇒ The given equation represents a pair of perpendicular lines.

Question 4.
Show that equation 2x² – xy – 3y² – 6x + 19y – 20 = 0 represents a pair of intersecting lines. Show further that the angle between them is tan^-1(5)
Answer:
The equation of the given pair of lines is
2x² – xy – 3y² – 6x + 19y – 20 = 0 —- (1)
Compare this equation with the equation
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 —- (2)
a = 2 , 2h = – 1, b = – 3, 2g = – 6, 2f = 19, c = – 20
h² – ab = \(\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}\) – (2)(-3)
= \(\frac{1}{4}\) + 6 ≠ 0
∴ The given line (1) is not parallel.
∴ They are intersecting lines.
Let θ be the angle between the lines.

Taking the acute angle θ = tan^-1 (5)

Question 5.
Prove that the equation to the straight lines through the origin each of which makes an angle α with the straight line y = x is x² – 2xy sec 2α + y² = 0
Answer:

Let OP be the given line y = x having slope
m = 1 = tan 45°
Given that OA is the line making angle α with the line y = x.

Slope of the line OA = tan (45° – α)
The equation of OA is the equation of the line passing through the point (0, 0) having slope tan (45° – α).
y – 0 = tan(45°- α) (x – 0)
y = x tan (45°- α)
x tan (45° – α) – y = 0
Also given the line OB makes an angle α with the line y = x.

Slope of the line OB = tan(45° + α)
The equation of OB is the equation of the line passing through the point (0, 0) having slope tan(45° + α)
y – 0 = tan (45° + α) (x – 0)
y = x tan (45° + α)
x tan (45° + α) – y = 0 ………. (2)
The combined equation is
(x tan(45°- α) – y) (x tan(45°+ α) – y) = 0
x²tan(45° – α) tan(45° + α) – xy tan (45° – α) – xy tan(45° + α) + yz = 0

Question 6.
Find the equation of the pair of straight lines passing through the poInt (1,3) and
perpendicular to the lines 2x -3y + 1 = 0 and 5x + y – 3 = 0.
Answer:

Equation of a line perpendicular to 2x – 3y + 1 = 0 is of the form 3x + 2y + k = 0.
It passes through (1, 3) ⇒ 3 + 6 + k = 0 ⇒ k = – 9
So the line is 3x + 2y – 9 = 0
The equation of a line perpendicular to 5x + y – 3 = 0 will be of the form x – 5y + k = 0.
It passes through (1, 3) ⇒ 1 – 15 + k = 0 ⇒ k = 14
So the line is x – 5y + 14 = 0.
The equation of the lines is 3x + 2y – 9 = 0 and x – 5y + 14 = 0
Their combined equation is (3x + 2y – 9)(x – 5y + 14) = 0
(i.e) 3x² – 15xy + 42x + 2xy – 10y² + 28y – 9x + 45y – 126 = 0
(i.e) 3x² – 13xy – 10y² + 33x + 73y – 126 = 0

Question 7.
Find the separate equation of the following pair of straight lines.
(i) 3x² + 2xy – y² = 0
(ii) 6(x – 1)² + 5(x – 1) (y – 2) – 4(y – 3)² = 0
(iii) 2x² – xy – 3y² – 6x + 19y – 20 = 0
Answer:

(i) Factorising 3x² + 2xy – y² we get
3x² + 3xy – xy – y² = 3x (x + y) – y (x + y)
= (3 x – y)(x + y)
So 3x² + 2xy – y² = 0 ⇒ (3x – y) (x + y) = 0
⇒ 3x – y = 0 and x + y = 0

(ii) 6(x – 1)² + 5 ( x – 1) (y – 2) – 4(y – 3 )² = 0
Let X = x – 1 and Y = y – 2
∴ The given equation becomes
6X² + 5XY – 4Y² = 0
6X² + 8 XY – 3XY – 4Y² = 0
2X(3X + 4Y) – Y (3X + 4Y) = 0
(2X – Y) (3X + 4Y) = 0
2X – Y = 0 and 3X + 4Y = 0
Substituting for X and Y , we have
2X – Y = 0 ⇒ 2(x – 1) – (y – 2) = 0
⇒ 2x – 2 – y + 2 = 0
⇒ 2x – y = 0
3X + 4Y = 0 ⇒ 3 (x – 1) + 4 ( y – 2 ) = 0
⇒ 3x – 3 + 4y – 8 = 0
⇒ 3x + 4y – 11 = 0
∴ The separate equations are
2x – y = 0 and 3x + 4y – 11 = 0

(iii) 2x² – xy – 3y² – 6x + 19y – 20 = 0
The given equation is
2x² – xy – 3y² – 6x + 19y – 20 = 0 ……… (1)
2x² – xy – 3y² = 2x² – 3xy + 2xy – 3y²
= x (2x – 3y) + y (2x – 3y )
= (x + y) (2x – 3y)
Let the separate equation of the straight lines be
x + y + 1 = 0 and 2x – 3y + m = 0 …….. (A)
(1) ⇒ 2x² – xy – 3y² – 6x + 19y – 20 = (x + y + 1) (2x – 3y + m)
Equating the coeffident of x , y and constant term on both sides, we have
-6 = m + 2l ………. (2)
19 = m – 3l ………. (3)
lm = – 20 ………. (4)
Solving equations (2), (3) and (4) we have

Substituting the values of l and m in equation (A) the required separate equations of the lines are
x + y – 5 = 0 and 2x – 3y + 4 = 0

Question 8.
The slope of one of the straight lines ax² + 2hxy + by² = 0 is twice that of the other, show that 8h² = 9ab.
Answer:
The equation of the given straight line is
ax² + 2hxy + by² = 0 ………… (1)
Given that the slopes of the straight lines are m and 2m

Question 9.
The slope of one of the straight lines ax² + 2h xy + by² = 0 is three times the other, show that 3h² = 4ab.
Answer:
The equation of the given straight line is
ax² + 2hxy + by² = 0 ……….. (1)
Given that the slopes of the lines are m and 3m.

Question 10.
A ∆ OPQ is formed by the pair of straight lines x² – 4xy + y² = 0 and the line PQ. The equation of PQ is x + y – 2 = 0, Find the equation of the median of the triangle ∆ OPQ drawn from the origin O
Answer:

The equation of the given pair of lines is
x² – 4xy + y² = 0 ……….. (1)
The equation of the line PQ is
x + y – 2 = 0
y = 2 – x ……….. (2)
To find the coordinates of P and Q, .
Solve equations (1) and (2)
(1) ⇒ x² – 4x ( 2 – x) + ( 2 – x)² = 0
x² – 8x + 4x² + 4 – 4x + x² = 0
6x² – 12x + 4 = 0
3x² – 6x + 2 = 0

The midpoint of PQ is

The equation of the median drawn from 0 is the equation of the line joining 0 (0, 0) and D (1, 1)

∴ The required equation is x = y

Question 11.
Find p and q, if the following equation represents a pair of perpendicular lines
6x² + 5xy – py² + 7x + qy – 5 = 0
Answer:
The equation of the given pair of straight lines is
6x² + 5xy – py² + 7x + qy – 5 = 0 ……….. (1)
Given that equation (1) represents a pair of perpendicular straight lines.
∴ Coefficient of x² + coefficient of y² = 0
6 – p = 0 ⇒ p = 6
6x² + 5xy – 6y² = 6x² + 9xy – 4xy – 6y²
= 3x(2x + 3y) – 2y (2x + 3y)
= (2x + 3y) (3x – 2y)
Let the separate equation of the straight lines be
2x + 3y + 1 = 0 and 3x – 2y + m = 0
6x² + 5xy – 6y² + 7x + qy – 5
= (2x + 3y + 1)(3x – 2y + m)
Comparing the coefficients of x , y and constant terms on both sides
2m + 3l = 7 ………… (2)
3m – 2l = q ……….. (3)
lm = – 5 …….. (4)
Equation (4) ⇒ l = 1, m = – 5
or l = – 1, m = 5
When l = 1, m = – 5 , equation (2) does not satisfy.
∴ l = – 1 , m = 5
Substituting in equation (3)
3 (5) – 2(-1) = q ⇒ q = 17
∴ The required values are p = 6, q = 17

Question 12.
Find the value of k, if the following equation represents a pair of straight lines. Further, find whether these lines are parallel or intersecting
12x² + 7xy – 12y² – x +7y + k = 0
Answer:
The equation of the given pair of straight lines is
12x² + 7xy – 12y² – x + 7y + k = 0 ………. (1)
Compare this equation with the equation
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2f y + c = 0 ……….. (2)
a = 12, 2h = 7 , b = – 12 ,
2g = – 1, 2f = 7, k = c
a = 12, h = \(\frac{7}{2}\), b = – 12,
g = \(-\frac{1}{2}\), f = \(\frac{7}{2}\), c = k
The condition for a second degree equation in x and y to represent a pair of straight lines is
abc + 2fgh – af² – bg² – ch² = 0
Substituting the values


Coefficient of x² + coefficient of y² = 12 – 12 = 0
∴ The given pair of straight lines are perpendicular and hence they are intersecting lines.

Question 13.
For what values of k does the equation
12x² + 2kxy + 2y² +11x – 5y + 2 = 0 represent two straight lines.
Answer:
The given equation of the pair of straight line is
12x² + 2kxy + 2y² + 11x – 5y + 2 = 0 ……… (1)
Compare this equation with the equation
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 ………. (2)
a = 12, 2h = 2k, b = 2,
2g = 11, 2f = – 5 , c = 2 ,
a =12, h = k, b = 2,
g = \(\frac{11}{2}\), f = –\(\frac{5}{2}\), c = 2,
The condition for a second degree equation in x and y to represent a pair of straight lines is
abc + 2fgh – af² – bg² – ch² = 0

96 – 55k – 150 – 121 – 4k² = o
– 4k² – 55k – 175 = 0
4k² + 55k + 175 = 0

∴ The given equation represents a pair of straight lines when
k = – 5 and k = \(\frac{-35}{4}\)

Question 14.
Show that the equation 9x² – 24xy + 16y² – 12x + 16y – 12 = 0 represents a pair of parallel lines. Find the distance between them.
Answer:
The given equation of the pair of straight line is
9x² – 24xy + by² – 12x + 16y – 12 = 0 ………… (1)
9x² – 24xy + 16y² = 9x² – 12xy – 12xy + 16y²
= 3x (3x – 4y) – 4y (3x – 4y)
= (3x – 4y) (3x – 4y)
Let the separate equation of the straight lines be
3x – 4y + 1 = 0 and 3x – 4y + m = 0
9x² – 24xy + 16y² – 12x + 16y – 12
= (3x – 4y + l) ( 3x – 4y + m )
Comparing the coefficients of x , y and constant terms on both sides
3l + 3m = – 12
l + m = – 4 ……….. (2)
– 4l – 4m = 16
l + m = – 4 ………… (3)
lm = – 12 ……….. (4)
(l – m)² = (l + m)² – 4lm
= (- 4)² – 4 × – 12
= 16 + 48 = 64
l – m = √64 = 8
l – m = 8 ………… (5)
Solving equations (2) and (5 ), we have

(2) ⇒ 2 + m = – 4 ⇒ m = – 6
∴ l = 2 and m = – 6
∴ The separate equation of the straight lines are
3x – 4y – 6 = 0 and 3x – 4y + 2 = 0
The distance between the parallel lines is given by

∴ The given pair of straight lines are parallel and the distance between them is \(\frac{8}{5}\) units

Question 15.
Show that the equation 4x² + 4xy + y² – 6x – 3y – 4 = 0 represents a pair of parallel lines. Find the distance between them.
Answer:
The given equation of pair of straight lines is
4x² + 4xy + y² – 6x – 3y – 4 = 0 ………. (1)
4x² + 4xy + y² = (2x + y)²
Let the separate equation of the lines be
2x + y + l = 0 ……….. (2)
2x + y + m = 0 ………. (3)
4x² + 4xy + y² – 6x – 3y – 4 = (2x + y + l) (2x + y + m)
Comparing the coefficients of x , y and constant terms on both sides we have
2l + 2m = – 6
l + m = – 3 ……… (4)
l + m = – 3 ……… (5)
l m = – 4 ……… (6)
(l – m)² = (l + m)² – 4lm
(l – m )² = (- 3)² – 4 × – 4
(l – m)² = 9 + 16 = 25
l – m = 5 ………… (7)
Solving equations (4) and (7)

(4) ⇒ l + m = – 3 ⇒ m = – 4
∴ The separate equation of the straight lines are
2x + y + 1 =0 and 2x + y – 4 = 0
The distance between the parallel lines is

d = \(\frac{5}{\sqrt{5}}\) = \(\sqrt{5}\)
∴ The given equation represents a pair of parallel straight lines and the distance between the parallel lines is \(\sqrt{5}\) units.

Question 16.
Prove that one of the straight lines given by ax² + 2hxy + by² = 0 will bisect the angle between the coordinate axes if (a + b)² = 4h²
Answer:
The equation of the given pair of straight lines is
ax² + 2hxy + by² = 0 ……… (1)
Let m₁ and m₂, be the slopes of the separate straight lines.
Given that one of the straight lines of (1) bisects the angle between the coordinate axes.
∴ The angle made by that line with x-axis 45°.
Slope of that line m₁ = tan 45°
m₁ = 1

Squaring on both sides
(a + b)² = (- 2h)²
(a + b)² = 4h²

Question 17.
If the pair of straight lines x² – 2kxy – y² = 0 bisects the angle between the pair of straight lines x² – 2lxy – y² = 0. Show that the later pair also bisects the angle between the former.
Answer:
The equations of the given pair of straight lines are
x² – 2kxy – y² = 0 ………… (1)
x² – 2lxy – y² = 0 ………… (2)
Given that the pair x² – 2kxy – y² = 0 bisects the angle between the pair x² – 2lxy – y² = 0
∴ The equation of the bisector of the pair
x² – 2lxy – y² = 0 is the pair x² – 2kxy – y² = 0
The equation of the bisector of x² – 2lxy – y² = 0 is

Equation (3) and Equation (1) represents the same straight lines. ∴ The coefficients are proportional.

To show that the pair x² – 2lxy – y² = 0 bisects the angle between the pair x² – 2kxy – y² = 0, it is enough to prove the equation of the bisector of x² – 2kxy – y² = 0 is x² – 2lxy – y² = 0
The equation of the bisector of x² – 2kxy – y² = 0 is

x² – y² = 2lxy .
x² – 2lxy – y² = 0
∴ The pair x² – 2lxy – y² = 0 bisects the angle between the pair x² – 2kxy – y² = 0

Question 18.
Prove that the straight lines joining the origin to the points of intersection of 3x² + 5xy – 3y² + 2x + 3y = 0 and 3x – 2y – 1 = 0 are at right angle.
Answer:
Homogenizing the given equations 3x² + 5xy – 3y² + 2x + 3y = 0 and 3x – 2y – 1 = 0
(i.e) 3x – 2y = 1.
We get (3x² + 5xy – 3y²) + (2x + 3y)( 1) = 0
(i.e) (3x² + 5xy – 3y²) + (2x + 3y)(3x – 2y) = 0
3x² + 5xy – 3y² + bx² – 4xy + 9xy – 6y² = 0
9x² + 10xy – 9y² = 0
Coefficient of x² + coefficient of y² = 9 – 9 = 0
⇒ The pair of straight lines are at right angles.

Tamilnadu State Board New Syllabus Samacheer Kalvi 11th Maths Guide Pdf Chapter 6 Two Dimensional Analytical Geometry Ex 6.3 Text Book Back Questions and Answers, Notes.

Tamilnadu Samacheer Kalvi 11th Maths Solutions Chapter 6 Two Dimensional Analytical Geometry Ex 6.3

Question 1.
Show that the lines 3x + 2y + 9 = 0 and 12x + 8y – 15 = 0 are parallel lines.
Answer:
The equations of the given lines are
3x + 2y + 9 = 0 ——- (1)
12x + 8y – 15 = 0 ——- (2)

m₁ = m₂
∴ The given lines are parallel.

Question 2.
Find the equation of the straight line parallel to 5x – 4y + 3 = 0 and having x – intercept 3.
Answer:
The equation of any line parallel to 5x – 4y + 3 = 0 is
5x – 4y + k = 0 ……….. (1)
The x – intercept of line (I) is obtained by putting
y = 0 in the equation.
(1) ⇒ 5x – 4(0) + k = 0
5x = – k ⇒ x = \(-\frac{k}{5}\)
Given that the x – intercept in 3
∴ \(-\frac{k}{5}\) = 3 ⇒ k = – 15
∴ The equation of the required line is
5x – 4y – 15 = 0

Question 3.
Find the distance between the line 4x + 3y + 4 = 0 and a point
(i) (- 2, 4)
(ii) (7, – 3)
Answer:
(i) The distance between the line ax + by + c = 0 and the point (x₁, y₁) is d = \(\frac{a x_{1}+b y_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
Here (x₁, y₁) = (- 2, 4) and the equation of the line is 4x + 3y + 4 = 0

(ii) Given point (x₁, y₁) = (7, – 3)
Given line 4x + 3y + 4 = 0

Question 4.
Write the equation of the lines through the point (1, – 1)
(i) Parallel to x + 3y – 4 = 0
(ii) Perpendicular to 3x + 4y = 6
Answer:
(i) Any line parallel to x + 3y – 4 = 0 will be of the form x + 3y + k = 0.
It passes through (1,-1) ⇒ 1 – 3 + k = 0 ⇒ k = 2
So the required line is x + 3y + 2 = 0

(ii) Any line perpendicular to 3x + 4y – 6 = 0 will be of the form 4x – 3y + k = 0.
It passes through (1, -1) ⇒ 4 + 3 + k = 0 ⇒ k = -7.
So the required line is 4x – 3y – 7 = 0

Question 5.
If (- 4, 7 ) is one vertex of a rhombus and if the equation of one diagonal is 5x – y + 7 = 0 then find the equation of another diagonal.
Answer:

In a rhombus, the diagonal cut at right angles.
The given diagonal is 5x – y + 7 = 0 and (- 4, 7) is not a point on the diagonal.
So it will be a point on the other diagonal which is perpendicular to 5x – y + 7 = 0.
The equation of a line perpendicular to 5x – y + 7 = 0 will be of the form x + 5y + k = 0.
It passes through (-4, 7) ⇒ -4 + 5(7) + k = 0 ⇒ k = -31
So the equation of the other diagonal is x + 5y – 31 = 0

Question 6.
Find the equation of the lines passing through the point of intersection of the lines 4x – y + 3 = 0 and 5x + 2y + 7 = 0 and
(i) through the point (-1,2)
(ii) parallel to x – y + 5 =0
(iii) perpendicular to x – 2y + 1 =0
Answer:
The equation of the straight line passing through the point of intersection of the lines.
4x – y + 3 = 0 and 5x + 2y + 7 = 0 is
( 4x – y + 3) + λ (5x + 2y + 7) = 0 ……… (1)

(i) Through the point (-1,2)
Given that line(1) passes through the point (-1, 2)
(1) ⇒ (4(-1) – 2 + 3) + λ (5(- 1) + 2(2) + 7) = 0
(-4 – 2 + 3) + λ (-5 + 4 + 7) = 0
– 3 + 6 λ = 0 ⇒ λ = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
∴ The equation of the required line is
(4x – y + 3) + \(\frac{1}{2}\) (5x + 2y + 7) = 0
2(4x – y + 3) + (5x + 2y + 7) = 0
8x – 2y + 6 + 5x + 2y + 7 = 0
13x +13 = 0 ⇒ x + 1 = 0

(ii) Equation of a line parallel to x – y + 5 = 0 will be of the form x – y + k = 0.
It passes through (-1, -1) ⇒ -1 + 1 + k = 0 ⇒ k = 0.
So the required line is x – y = 0 ⇒ x = y.

(iii) Perpendicular to x – 2y + 1 = 0
Given that the line (1) perpendicular to the line
x – 2y + 1 = 0 ………….. (3)
(1) ⇒ (4x – y + 3) + λ (5x + 2y + 7) = 0
4x – y + 3 + 5λx + 2λy + 7λ = 0
(4 + 5λ)x + (2λ – 1 )y + (3 + 7λ) = 0 ……….. (4)
Slope of this line (3) = \(-\frac{4+5 \lambda}{2 \lambda-1}\)
Slope of line (2) = \(-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\)
Given that line (3) and line (4) are perpendicular

4 + 5λ = 2(2λ – 1 )
4 + 5λ = 4λ – 2
λ = – 6
Substituting the value of λ in equation (1) we have
(4x – y + 3) – 6 (5x + 2y + 7) = 0
4x – y + 3 – 30x – 12y – 42 = 0
-26x – 13y – 39 =0
2x + y + 3 = 0
which is the required equation.

Question 7.
Find the equations of two straight line which are parallel to the line 12x + 5y + 2 = 0 and at a unit distance from the point (1, – 1).
Answer:
The equation of the given line is
12x + 5y + 2 = 0 ……… (1)
Equation of any line parallel to the line (1) is
12x + 5y + k = 0 ………. (2)
Given that line (2) is at a unit distance from the point (1, – 1)

k = – 7 ± 13
k = -7 + 13 or k = – 7 – 13
k = 6 or k = – 20
∴ The equation of the required lines are
12x + 5y + 6 = 0 and 12x + 5y – 20 = 0

Question 8.
Find the equations of straight lines which are perpendicular to the line 3x + 4y – 6 = 0 and are at a distance of 4 units from (2, 1).
Answer:
The equation of the given line is
3x + 4y – 6 = 0 …………. (1)
The equation of any line perpendicular to line (1) is
4x – 3y + k = 0 …………. (2)
Given that this line is 4 units from the point (2, 1)

± 4 = \(\frac{5+k}{5}\)
5 + k = ± 20
k = ± 20 – 5
k = 20 – 5 or k = -20
k = 15 or k = -25
∴ The equation of the required lines are
4x – 3y + 15 = 0 and 4x – 3y – 25 = 0

Question 9.
Find the equation of a straight line parallel to 2x + 3y = 10 and which is such that the sum of its intercepts on the axes is 15.
Answer:
The equation of the given line is
2x + 3y = 10 ………….. (1)
The equation of any line parallel to (1) is
2x + 3y = k …………. (2)

Given that the sum of the intercepts of the line (2) on the axes is 15

∴ The equation of the required line is 2x + 3y = 18

Question 10.
Find the length of the perpendicular and the coordinates of the foot of the perpendicular from (-10, -2) to the line x + y – 2 = 0.
Answer:
The coordinate of the foot of the perpendicular from the point (x₁, y₁) on the line ax + by + c = 0 is

∴ The coordinate of the foot of the perpendicular from the point (- 10, – 2) on the line x + y – 2 = 0 is

x + 10 = y + 2 = \(\frac{14}{2}\)
x + 10 = y + 2 = 7
x + 10 = 7, y + 2 = 7
x = – 3, y = 5
∴ The required foot of the perpendicular is (- 3, 5).
Length of the perpendicular

Question 11.
If p₁ and p₂ are the lengths of the perpendiculars from the origin to the straight lines x sec θ + y cosec θ = 2a and x cos θ – y sin θ = a cos 2θ, then prove that p₁² + p₂² = a².
Answer:
Given P₁ is the length of the perpendicular from the origin to the straight line
x sec θ + y cosec θ – 2a = 0

Also given P₂ is the length of the perpendicular from the origin to the straight line
x cos θ – y sin θ – a cos 2θ = 0

Question 12.
Find the distance between the parallel lines
(i) 12x + 5y = 7 and 12x + 5y + 7 = 0
(ii) 3x – 4y + 5 = 0 and 6x – 8y – 15 = 0
Answer:
(i) 12x + 5y = 7 and 12x + 5y + 7 = 0
The equation of the given lines are
12x + 5y – 7 = 0 ……….. (1)
12x + 5y + 7 = 0 ……….. (2)
The distance between the parallel lines
ax + by + c₁ = 0 and ax + by + c₂ = 0 is
The equation of any line parallel to (1) is

The distance cannot be negative
∴ Required distance = \(\frac{14}{13}\)

(ii) 3x – 4y + 5 = 0 and 6x – 8y -15 = 0
The equation of the given lines are
3x – 4y + 5 = 0 ……….. (1)
6x – 8y – 15 = 0
3x – 4y – 1 = 0 ………… (2)
The distance between the parallel lines (1) and (2) is

Question 13.
Find the family of straight lines
(i) Perpendicular
(ii) Parallel to 3x + 4y – 12
Answer:
(i) Equation of lines perpendicular to 3x + 4y – 12 = 0 will be of the form 4x – 3y + k = 0, k ∈ R
(ii) Equation of lines parallel to 3x + 4y – 12 = 0 will be of the form 3x + 4y + k = 0, k ∈ R

Question 14.
If the line joining two points A (2, 0) and B (3, 1) is rotated about A in an anticlockwise direction through an angle of 15° , then find the equation of the line in the new position.
Answer:

Slope of the line AB
m = tan θ = \(\frac{1-0}{3-2}\)
tan θ = 1
θ = 45°
∴ The line AB makes an angle 45° with x-axis.
Given that the line AB is rotated through an angle of 15° about the point A in the anticlockwise direction.
∴ The angle made by the new line AB’ is 45° + 15° = 60°
Slope of the new line AB’ is m₁ = tan 60° = √3
∴ The equation of the new line AB’ is the equation of the straight line passing through the point A (2, 0) and having slope m₁ = √3
y – 0 = √3 (x – 2)
y = √3x – 2√3
√3x – y – 2√3 = 0

Question 15.
A ray of light coming from the point (1, 2) is reflected at a point A on the x – axis and it passes through the point (5, 3). Find the coordinates of point A.
Answer:

Let P(1, 2) and (5, 3) are the given points.
By the property of reflection,
∠XAB = ∠OAP = θ
(Angle of incidence = Angle of reflection)
Slope of the line OA (x – axis) m₁ = 0
Slope of the line joining the points P (1, 2) and A (x, 0)
Slope of AP, m₂ = \(\frac{2-0}{1-x}=\frac{2}{1-x}\)
Slope of the line joining the points B (5, 3 ) and A (x, 0)
Slope of AP, m₃ = \(\frac{3-0}{5-x}=\frac{3}{5-x}\)

From equations (1) and (2)
\(\frac{3}{5-x}\) = –\(\frac{2}{1-x}\)
3(1 – x) = – 2 (5 – x)
3 – 3x = – 10 + 2x
2x + 3x = 10 + 3
5x = 13 ⇒ x = \(\frac{13}{5}\)
∴ The required point A is \(\left(\frac{13}{5}, 0\right)\)

Question 16.
A line is drawn perpendicular to 5x = y + 7. Find the equation of the line if the area of the triangle formed by this line with co-ordinate axes is 10. sq. units.
Answer:

Let the given line be PQ whose equation is
5x = y + 7
5x – y – 7 = 0 ——- (1)
Let AB be the line perpendicular to the line PQ such that the area of the triangle OAB is 10 units.
The equation of the line AB is
– x – 5y + k = 0
x + 5y – k = 0
x + 5y = k ——- (2)

∴ A is (k, 0) and B is (0, \(\frac{\mathrm{k}}{5}\))
OA = k and OB = \(\frac{\mathrm{k}}{5}\)
Area of ∆OAB = \(\frac{1}{2}\) × OA × OB
= \(\frac{1}{2}\) × k × \(\frac{\mathrm{k}}{5}\)
Given area of ∆ OAB = 10
∴ \(\frac{\mathrm{k}^{2}}{10}\) = 10
k² = 100 ⇒ k = ±10
∴ The required equation of the straight line is
x + 5y = ±10

Question 17.
Find the image of the point (- 2, 3) about the line x + 2y – 9 = 0.
Answer:
The image of the point (x₁, y₁) about the line ax + by + c = 0 is

∴ The image of the point (- 2, 3) about the line x + 2y – 9 = 0 is

∴ The required point is (0, 7)

Question 18.
A photocopy store charges ₹ 1.50 per copy for the first 10 copies and ₹ 1.00 per copy after the 10^th copy. Let x be the number of copies, and y be the total cost of photo coping.
(i) Draw graph the cost as x goes from 0 to 50 copies
(ii) Find the cost of making 40 copies.
Answer:
(i) Draw graph of the cost as x goes from 0 to 50 copies:
Let x represent the number of copies and y represent the cost of photocopying.
Given photo copying charge for 1 copy is Rs. 1.50 for the first 10 copies and Rs. 1.00 per copy after the 10^th copy.
∴ The relation connecting the number of copies and cost of photocopying charge is given by
y = 1.50x, 0 ≤ x ≤ 10
y = 10(1.50) + (x – 10) (1)
y = 15 + x – 10
y = x + 5 ………… (1)

The graph for 0 to 50 copies:

When x = 10, y = 1.50 × x
⇒ y = 1.50 × 10 = 15
The corresponding point is (10 , 15)
When x = 20, y = x + 5
⇒ y = 20 + 5 = 25
The corresponding point is (20 , 25)
When x = 30, y = x + 5
⇒ y = 30 + 5 = 35
The corresponding point is (30, 35)
When x = 40, y = 40 + 5 = 45
The corresponding point is (40, 45 )
When x = 50, y = 50 + 5 = 55
The corresponding point is (50, 55 )
The cost of 40 copies is the value of y
When x = 40 , y = 40 + 5 = 45 rupees
Cost of 40 copies = 45 rupees

Question 19.
Find at least two equations of the straight lines in the family of file lines y = 5x + b for which b and the x – coordinate of the point of intersection of the lines with 3x – 4y = 6 are integers.
Answer:
The equations of the given straight lines are
y = 5x + b ……….. (1)
3x – 4y = 6 ……….. (2)
To find atleast two equations from the family y = 5x + b for which b is an integer and x – coordinate of the point of intersection of (1) and (2) is an integer. Solving (1)and (2) using equation (1) inequation (2) (2) ⇒ 3x – 4 (5x + b) = 6
3x – 20x – 4b = 6
-17x = 6 + 4b

The corresponding equation of the line is = 5x + 7
When b = – 10, we have x = \(\frac{6-40}{-17}\)
= \(\frac{-34}{-17}\) = 2
The corresponding equation of the line is y = 5x – 10
Thus y = 5x + 7 and y = 5x – 10 are the two straight lines belonging to the family such that b is an integer and the x – coordinate of the point of intersection with the line (2) is an integer.

Question 20.
Find all the equations of the straight lines in the family of the lines y = mx – 3 for which m and the x – coordinate of the point of intersection of the lines with x – y = 6 are integers.
Answer:
The equations of the given lines are
y = mx – 3 ………. (1)
x – y = 6 ………. (2)
Solving equations (1) and (2)
(2) ⇒ x – (mx – 3 ) = 6
x – mx + 3 = 6
x (1 – m) = 3
x = \(\frac{3}{1-\mathrm{m}}\) …….. (3)
From equation (3) let us find the values of x and m for which they are integers. The only values of m for which , x is an integer are m = 0, 2, -2
When m = 0, x = \(\frac{3}{1-0}\) = 3
The corresponding equation is
y = 0 . x – 3
y + 3 = 0

When m = 2, x = \(\frac{3}{1-2}\) = \(\frac{3}{-1}\) = – 3
The corresponding equation is y = -2x + 3
2x + y – 3 = 0

When m = – 2, x = \(\frac{3}{1+2}\) = \(\frac{3}{3}\) = 1
The corresponding equation is
y = – 2 x + 3
2x + y – 3 = 0
∴ The required equations of the lines are
y + 3 = 0 , 2x – y – 3 = 0 and
2x + y – 3 = 0